คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 3

คณิตศาสตร์ - สถิติ
แบบฝึกหัด ชุดที่ 3

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องสถิติ ชุดที่ 5 2 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. จากการสำรวจการใช้น้ำในหมู่บ้านแห่งหนึ่งในรอบ 5 ปีที่ผ่านมาเป็นดังนี้

ปีพ.ศ.	2554	2555	2556	2557	2558
ปริมาณน้ำ (พันลบ.ม.)	3	4	5	7	9

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง จงทำนายว่าในปีพ.ศ. 2559 หมู่บ้านแห่งนี้จะมีการใช้น้ำจำนวนกี่ลูกบาศก์เมตร (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
2. จากสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต จงหาว่ากำไรเฉลี่ยของการขายโหระพาในแผงลอยแห่งหนึ่ง ในระยะ 7 วันหลังสุดเป็นเท่าไร กำหนดให้ราคาทุน (x) ดังนี้ 13 16 14 15 12 10 และ 17 บาท และความสัมพันธ์ระหว่างกำไร (y) และราคาทุน (x) ของโหระพา เป็น y = 8.5 + 0.45x บาท (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
3. จากการศึกษาความสัมพันธ์ของการเจริญเติบโตของต้นไม้ชนิดหนึ่ง ในระยะ 6 เดือนที่ผ่านมา

เดือนที่ (x)	1	2	3	4	5	6
ความสูง (y) (m.)	1.9	2.3	2.9	3.8	5.1	6.8

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเอกซ์โพแนนเชียล และต้นไม้ชนิดนี้เมื่ออายุผ่านไป 3 ใน 4 ของอายุขัย (อายุขัย = 3 ปี) จะหยุดการเจริญเติบโต
ก. จงทำนายว่าในต้นไม้นี้จะสูงสุดได้กี่เมตร (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ข. สมการความสัมพันธ์นี้ คืออะไร (ทศนิยมที่เกี่ยวข้องเป็น 2 ตำแหน่ง)
4. การใช้ยาชนิดหนึ่งในผู้ป่วยโรคความดันโลหิตสูง เมื่อรับประทานยาเข้าไปแล้ว จะมีปริมาณลดลงดังตาราง

เวลา : ชั่วโมงที่ (x)	0	1	1.5	2	3	5
ปริมาณยา (y) (mg.)	1000	850	750	600	325	75

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเอกซ์โพแนนเชียล จงหาว่า
ก. ในเวลาเท่าใด ที่ปริมาณยาเหลือครึ่งหนึ่งของปริมาณเริ่มต้น
ข. สมการความสัมพันธ์นี้ คืออะไร
5. จากข้อมูลดังนี้

x	4	6	8
y	8	10	9

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นพาราโบลา จงหาว่าเมื่อ x มีค่าเท่าใดที่ y จะมีค่าเท่ากับ 2a (a คือค่าในสมการระเบียบวิธีการกำลังสอง หรือสมการความสัมพันธ์)
6. ข้อมูลอนุกรมเวลา ระบุข้อมูลรายได้ของอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งดังนี้
ปี (พ.ศ. : Y)           2510 2520 2530 2540 2545 2550 2555 .....
รายได้ (ล้านบาท : X)   1     2      5      x1    x2     12    18 …..
จากข้อมูลพบว่าในปีพ.ศ. 2520 มีรายได้ 2 ล้านบาท และปีพ.ศ. 2555 มีรายได้ 18 ล้านบาท ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง
ก. จงหาค่าของ x1x2 (ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
ข. จงทำนายว่าในปีใดโดยประมาณที่มีรายได้ 6.2 ล้านบาท
7. จงหาสมการความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันพาราโบลา จากข้อมูลดังนี้ โดยให้ x เป็นตัวแปรต้น

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	0.2	0.7	1.3	2.4	3.4	3.6	3.2	2.5	1.7	1.1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 1 (25 มี.ค. 2559)
1. กำหนดข้อมูล 3 ชุดดังนี้
A : 2, 4, 6, 8, 10, 12       B : 1, 1, 1, 1, 1, 1       C : 1, 3, 7, 11, 14, 20
จงเรียงลำดับชุดข้อมูลจากมากไปน้อย ตามค่ากลางต่อไปนี้
ก. ฐานนิยม
ตอบ B มีฐานนิยมเพียงชุดข้อมูลเดียว //เรียงลำดับไม่ได้
ข. มัธยฐาน
ตอบ C > A > B
ค. การกระจายข้อมูล
ตอบ C > A > B
2. ข้อมูล 5 จำนวน คือ 3 9 12 16 20 จงหา
ก. ผลต่างของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์กับพิสัย
ตอบ 6 - 17 = ต่างกันอยู่ 11
ข. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ตอบ 4.8
3. นักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มี 2 ห้อง ห้องที่ 1 มีนักเรียน 40 คน มีคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 47 คะแนน และห้องที่ 2 มีนักเรียน 50 คน มีคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 52 คะแนน หากข้อมูลที่เก็บมามีการกรอกผิดไป 2 คน โดยกรอกจาก 34 เป็น 43 และ 63 เป็น 36 จงหาว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทั้งสองห้องนี้ที่แท้จริง คือเท่าไร
ตอบ 49.98 คะแนน
4. มีข้อมูลอยู่ 2 ชุด โดยมีจำนวนข้อมูลชุดแรกน้อยกว่าชุดที่ 2 อยู่ 3 จำนวน มีลักษณะคร่าวๆ ดังนี้
- ข้อมูลชุดที่ 1 มีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 9 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 14
- ข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 16 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 20
จงหาว่าข้อมูลทั้งสองชุดมีจำนวนข้อมูลรวมกันเป็นเท่าใด หากมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเท่ากับ 18
ตอบ 9 จำนวน
5. ข้อมูล 7 จำนวนดังนี้ 3 5 8 a b 14 16 ถ้าข้อมูลนี้ไม่มีฐานนิยม มัธยฐานเท่ากับ a ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 9 และค่าความแปรปรวนเท่ากับ 1 ใน 7 ของ 104 กำหนดให้ a < b 
ก. จงหาค่า 2a – b 
ตอบ 8
ข. จงหาค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
ตอบ 0.6666
ค. จงหาค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
ตอบ 0.4283
6. จงหาผลการเรียนเฉลี่ยของเด็กหญิง ก

วิชา	คณิตศาสตร์	ภาษาไทย	สังคมศึกษา	วิทยาศาสตร์	ภาษาอังกฤษ
หน่วยการเรียน	2.0	1.5	1.5	1.5	1.0
ผลการเรียน	4	3.5	2.5	3	4

ตอบ 3.40
7. “22 24 23 29 30 54 26 23 18 11 36 37 40 19 42 55 52 40 48 43”
จากข้อมูลต่อไปนี้ จงหา
ก. Percentile ที่ 72 + Decile ที่ 2
ตอบ 42.12 + 22.2 = 64.32
ข. Percentile ที่ 82.3
ตอบ 49.132
ค. จงหาสัมประสิทธิ์ของพิสัย
ตอบ 0.6667
ง. พิจารณาว่าข้อมูลนี้ควรใช้ค่าใดเป็นค่ากลางของข้อมูล
ตอบ มัธยฐานหรือค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็ได้ เพราะค่ากลางสองค่านี้ไม่แตกต่างกันมาก และบ่งชี้ข้อมูลได้เป็นอย่างดี

วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 1

คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 2

คณิตศาสตร์ - สถิติ
แบบฝึกหัด ชุดที่ 2

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องสถิติ ชุดที่ 3 27 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. กำหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ A ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้

z	0.00	0.25	0.50	0.75	1.00
A	0.0000	0.0987	0.1915	0.2734	0.3413

วิภาสอบได้คะแนนวิชาภาษาไทย 52 คะแนนซึ่งตรงกับ Percentile ที่ 59.87 เมื่อเทียบคะแนนกับนักเรียนหญิงด้วยกัน หากนักเรียนหญิงห้องนี้มีคะแนนเฉลี่ยรายวิชาภาษาไทย เท่ากับ 46 คะแนน และนักเรียนชายมีคะแนนเฉลี่ยรายวิชาภาษาไทยเท่ากับ 58 คะแนน จงหาว่าวิภาจะมีคะแนนวิชาภาษาไทยตรงกับ Percentile ที่เท่าไรเมื่อเทียบคะแนนกับนักเรียนชาย กำหนดให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนหญิงและนักเรียนชายเท่ากัน
2. กำหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ A ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้
พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1.45 เท่ากับ 0.4265
พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 2 เท่ากับ 0.4772
จงหาว่าพื้นที่จาก z = -1.45 ถึง z = 2 มีค่าเท่ากับเท่าใด
3. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้นม.6 จำนวน 200 คน นาย ก นาย ข และนาย ค เป็นนักเรียนชั้นม.6 โรงเรียนนี้โดยที่นาย ก มีคะแนนวิชาภาษาอังกฤษในตำแหน่งเดไซล์ที่ 7.22 นาย ข มีคะแนนวิชาภาษาอังกฤษมากกว่านักเรียนชั้นม.6 คนอื่น 150 คน และนาย ค มีคะแนนวิชาภาษาอังกฤษเป็นค่ามาตรฐานเท่ากับ 2.57 จงเรียงลำดับคะแนนสามคนนี้จากน้อยไปหามาก (กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติ z = 0 ถึง z = 2.57 เท่ากับ 0.4949)
4. น้ำหนักและความยาวลำตัวของหมูในโรงเรือนแห่งหนึ่ง มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมเท่ากันโดยมีน้ำหนักเฉลี่ยเท่ากับ 8.5 กก. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1.7 กก. และความยาวลำตัวเฉลี่ยเท่ากับ 154 ซม. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 7 ซม. จำนวนหมูที่มีน้ำหนักไม่ต่ำกว่า 5.1 กก. และไม่เกิน 11.9 กก. เท่ากับหมูที่มีความยาวลำตัวไม่น้อยกว่า 140 ซม. และไม่เกิน x ซม. และหมูที่มีน้ำหนัก y กก. และมีความยาวลำตัว 161 ซม. เป็นหมูที่มีข้อมูลอยู่ขอบบนสุดของหมูกลุ่มนี้ จงหาค่า x + y
5. ข้อมูลชุดหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ โดยที่ค่าสูงสุดของข้อมูลเท่ากับ Decile ที่ 9.99 และค่าต่ำสุดของข้อมูลเท่ากับ Percentile ที่ 0.13 จงหาค่าสัมประสิทธิ์ของพิสัยของชุดข้อมูลนี้ กำหนดให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 0.96 และตารางแสดงพื้นที่ A ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้

z	0.0	1.0	2.0	3.0	3.1
A	0.0000	0.3413	0.4772	0.4987	0.4990

6. กำหนดพื้นที่ใต้โค้งมาตรฐานทางขวามือ z = 0.25 เท่ากับ 0.67
ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยที่ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เท่ากับ 3 และสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์เท่ากับ 0.25 จงหาว่ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เป็นเท่าใด
7. รายได้ของประชากรในหมู่บ้านที่มีจำนวนประชากร 100,000 คน มีการแจกแจงปกติ มีฐานนิยมเท่ากับ 3,200 บาท ประชากรที่มีรายได้น้อยกว่า 6,000 บาทอยู่ประมาณ 89,250 คน จงหาว่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของรายได้ของประชากรในหมู่บ้านแห่งนี้มีค่าเท่าใด มากกว่า 0.5 หรือไม่ (กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติจาก z = 0 ไปยัง z = 1.24 เท่ากับ 0.3925)


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัดชุดที่ 6 (20 มี.ค. 2559)
1. จงหาค่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้
ก. ∫(x - 4)dx
ตอบ ¹/₂x² – 4x + c
ข. ∫(6x^-2 - 7x + 9)dx
ตอบ -6x^-1 – ⁷/₂x² + 9x + c
ค. ∫(3x³ - 2x² + 5x - 10)dx
ตอบ ³/₄x⁴ – ²/₃x³ + ⁵/₂x² – 10x + c
ง. ∫(4x - 5)²dx
ตอบ ¹/₁₂(4x – 5)³ + c
จ. ∫(5x^-5 - 3x^-3 - 7x^-2 + 9x²)dx
ตอบ -⁵/₄x^-4 + ³/₂x^-2 + 7x^-1 – 3x³ + c
2. จงหาค่า c ใน F(x) จากการทำปฏิกิริยานุพันธ์ f(x) ดังนี้
ก. f(x) = 2 และ F(0) = 5
ตอบ c = 5
ข. f(x) = 3x - 7 และ F(1) = 6
ตอบ c = ⁵/₂
ค. f(x) = x³ - x² + 7x - 10 และ F(0) = 2
ตอบ c = 2
ง. f(x) = x² - 6x + 9 และ F(3) = 6
ตอบ c = -3
จ. f(x) = (2x - 1)² และ F(2) = 10
ตอบ c = ¹/₂
3. จงหาค่า dx/dy จากสมการต่อไปนี้
ก. 5x² - 2y² - 6xy = 6
ตอบ dx/dy = (6x + 4y)(10x + 6y)^-1
ข. 3y + x² - 3y² = 2 - 6x
ตอบ dx/dy = (6y – 3)(2x + 6)^-1
ค. y² - 4x²y + x - 4y = y - 6
ตอบ dx/dy = (4x² – 2y + 5)(-8xy – 1)^-1
4. กำหนดให้ h แทน ความสูงของทรงกรวย และ r แทน ความยาวรัศมีที่ฐานของทรงกรวย และให้สูตรการหาปริมาตรทรงกระบอกทรงกรวยเท่ากับ (πr²h)/3 ถ้าปริมาตรทรงกรวยเท่ากับ 1,540 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ h เทียบกับ r เปลี่ยน r จาก 2 ซม. เป็น 3 ซม. เป็นเท่าใด
ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ h เทียบกับ r เปลี่ยน r จาก 2 ซม. เป็น 3 ซม. เท่ากับ -³⁶⁵⁰/_6π
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ h เทียบกับ r เมื่อ r = 7 ซม.
ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ h เทียบกับ r เมื่อ r = 7 ซม. เท่ากับ -²²⁰/_π
5. จงหาลิมิตของ f(x) ต่อไปนี้
ก. f(x) = 10x - 22 เมื่อ x เข้าใกล้ 1
ตอบ -12
ข. f(x) = x² + 3x + 9เมื่อ x เข้าใกล้ 0
ตอบ 9
ค. f(x) = x³ - 6x² + 3x - 4  เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ตอบ -14
ง. f(x) = x⁴ + 2x³ + x^-2 + 3x - 4 เมื่อ x เข้าใกล้ 1
ตอบ 3
6. จงหาค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ/หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f(x) = x² - 3x + 4
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ ⁷/₄ และไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
7. จงหาพื้นที่ระหว่างกราฟ f(x) = x² – 4 กับ g(x) = 4x - 7
ตอบ พื้นที่ระหว่างกราฟ f(x) = x² - 4 กับ g(x) = 4x – 7 เท่ากับ ⁴/₃ ตารางหน่วย
ข้อ 8 – 10 กำหนด f(x) และ g(x) ต่อไปนี้ จงหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
ให้ f(x) = -3x³ - 4x² + 20x – 19 และ f(x) = 5x³ + 2x² - 4x + 7
8. ปฏิยานุพันธ์ของ f(x) + g(x) ที่ x = 0 ถึง x = 2
ตอบ ³²/₃
9. ปฏิยานุพันธ์ของ f(x) - g(x) ที่ x = -2 ถึง x = 2
ตอบ -168
10. ปฏิยานุพันธ์ไม่จำกัดเขตของ (f(x))²
ตอบ (-3x³ – 4x² + 20x – 19)³(-27x² – 24x + 60)^-1
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย ชุดที่ 6

คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 1

คณิตศาสตร์ - สถิติ

แบบฝึกหัด ชุดที่ 1

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องสถิติ ชุดที่ 3 27 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. กำหนดข้อมูล 3 ชุดดังนี้
A : 2, 4, 6, 8, 10, 12       B : 1, 1, 1, 1, 1, 1       C : 1, 3, 7, 11, 14, 20
จงเรียงลำดับชุดข้อมูลจากมากไปน้อย ตามค่ากลางต่อไปนี้
ก. ฐานนิยม
ข. มัธยฐาน
ค. การกระจายข้อมูล
2. ข้อมูล 5 จำนวน คือ 3 9 12 16 20 จงหา
ก. ผลต่างของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์กับพิสัย
ข. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
3. นักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มี 2 ห้อง ห้องที่ 1 มีนักเรียน 40 คน มีคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 47 คะแนน และห้องที่ 2 มีนักเรียน 50 คน มีคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์เท่ากับ 52 คะแนน หากข้อมูลที่เก็บมามีการกรอกผิดไป 2 คน โดยกรอกจาก 34 เป็น 43 และ 63 เป็น 36 จงหาว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนทั้งสองห้องนี้ที่แท้จริง คือเท่าไร
4. มีข้อมูลอยู่ 2 ชุด โดยมีจำนวนข้อมูลชุดแรกน้อยกว่าชุดที่ 2 อยู่ 3 จำนวน มีลักษณะคร่าวๆ ดังนี้
- ข้อมูลชุดที่ 1 มีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 9 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 14
- ข้อมูลชุดที่ 2 มีค่าความแปรปรวนเท่ากับ 16 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 20
จงหาว่าข้อมูลทั้งสองชุดมีจำนวนข้อมูลรวมกันเป็นเท่าใด หากมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวมเท่ากับ 18
5. ข้อมูล 7 จำนวนดังนี้ 3 5 8 a b 14 16 ถ้าข้อมูลนี้ไม่มีฐานนิยม มัธยฐานเท่ากับ a ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 9 และค่าความแปรปรวนเท่ากับ 1 ใน 7 ของ 104 กำหนดให้ a < b
ก. จงหาค่า 2a – b
ข. จงหาค่าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
ค. จงหาค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
6. จงหาผลการเรียนเฉลี่ยของเด็กหญิง ก

วิชา	คณิตศาสตร์	ภาษาไทย	สังคมศึกษา	วิทยาศาสตร์	ภาษาอังกฤษ
หน่วยการเรียน	2.0	1.5	1.5	1.5	1.0
ผลการเรียน	4	3.5	2.5	3	4

7. “22 24 23 29 30 54 26 23 18 11 36 37 40 19 42 55 52 40 48 43”
จากข้อมูลต่อไปนี้ จงหา
ก. Percentile ที่ 72 + Decile ที่ 2
ข. Percentile ที่ 82.3
ค. จงหาสัมประสิทธิ์ของพิสัย
ง. พิจารณาว่าข้อมูลนี้ควรใช้ค่าใดเป็นค่ากลางของข้อมูล

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัดชุดที่ 5 (19 มี.ค. 2559)
ข้อที่ 1 - 7 จงหา f'(x) และหาค่าตามที่กำหนด
1. f(x) = 12x และหา f'(1)
ตอบ f’(x) = 12 และ f'(1) = 12
2. f(x) = x³ - x²+ x - 2 และหา f''(3)
ตอบ f’(x) = 3x² – 2x + 1 และ f''(3) = 16
3. f(x) = x² - 6x + 8 และหา f'(2)
ตอบ f’(x) = 2x - 6 และ f'(2) = -2
4. f(x) = 4x⁴ - 3x³ - 2x + 2 และหา f''(1)
ตอบ f’(x) = 16x³ – 9x² – 2 และ f''(1) = 30
5. f(x) = x³ - 3x² - 4x + 1 และหา f'(2)
ตอบ f’(x) = 3x² – 6x – 4 และ f'(2) = -4
6. f(x) = 2x³ - 9x² - 6x + 3 และหา f'(0)
ตอบ f’(x) = 6x² – 18x - 6 และ f'(0) = -6
7. f(x) = 3x⁵ - 4x⁴ - 2x + 3 - 3x^-1 และหา f''(1)
ตอบ f’(x) = 15x⁴ – 16x³ – 2 + 3x^-2 และ f''(1) = 6
8. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย y เทียบกับ x ของ f(x) = 6x³ - 4x² + 3x - 4 เมื่อ x = 1 เป็น x = -1 มากกว่าหรือน้อยกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย y เทียบกับ x ของ f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 10 เมื่อ x = -2 เป็น x = 2 อยู่เท่าไร
ตอบ มากกว่าอยู่ 13
9. กำหนดให้ h แทน ความสูงของทรงกระบอก และ r แทน ความยาวรัศมีที่ฐานของทรงกระบอก และให้สูตรการหาปริมาตรทรงกระบอกเท่ากับ πr²h ถ้าปริมาตรทรงกระบอกเท่ากับ 140 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ h เทียบกับ r เปลี่ยน r จาก 7 ซม. เป็น 14 ซม.
ตอบ -¹⁵/_49π
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ h เทียบกับ r เมื่อ r = 1 ซม.
ตอบ -²⁸⁰/_π
10. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่ทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส เทียบกับความยาวด้าน เมื่อความยาวด้านเปลี่ยนจาก 2 ซม. เป็น 7 ซม.
ตอบ 9
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย ชุดที่ 5

LiveLeek #1 - พิสดารสารพัน

เมนูพิสดารประจำจาน

คอลัมน์ LiveLeek สัปดาห์นี้ มานำเสนออาหารที่ขอตั้งชื่อว่า "เมนูพิสดารประจำจาน" เป็นการนำอาหารที่เหลือจากการรับประทานในหลายมื้อมารวมกัน โดยใส่ส่วนผสมให้กลมกล่อม เหมาะสำหรับคนที่มีแนวคิดขัดๆ ขวางๆ โลกบ้างเพียงเล็กน้อย
ส่วนผสม :
วุ้นเส้นลวก 1 ห่อ
ทอดมัน/เนื้อสัตว์ลวก 10-15 ชิ้น
ผักชี-ต้นหอมสำหรับโรยหน้า
น้ำจิ้มสุกี้ 3 ช้อนชา
พริกป่น
มะนาว 2 ผล
วิธีทำ : นำทุกอย่างมาเทรวมกัน แล้วคลุกให้เข้ากัน เป็นอันเสร็จพิธี
คำแนะนำ :
1. เมนูนี้ให้รับประทานกับข้าวสวยร้อนๆ และน้ำซุปที่กลมกล่อมไม่หวานไม่เค็มเกินไป
2. ไม่ต้องปรุงรสเพิ่มนอกเหนือจากนี้ อาจจะปรุงด้วยบีบมะนาว หรือเติมพริกป่นหากต้องการรสชาติที่จัดจ้านขึ้นมาอีกเล็กน้อย
3. อาจจะเปลี่ยนเป็นพริกสดแทนน้ำจิ้มสุกี้ได้

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 6

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น

แบบฝึกหัด ชุดที่ 6

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องสถิติ ชุดที่ 2 27 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. จงหาค่าปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้
ก. ∫(x - 4)dx
ข. ∫(6x^-2 - 7x + 9)dx
ค. ∫(3x³ - 2x² + 5x - 10)dx
ง. ∫(4x - 5)²dx
จ. ∫(5x^-5 - 3x^-3 - 7x^-2 + 9x²)dx
2. จงหาค่า c ใน F(x) จากการทำปฏิกิริยานุพันธ์ f(x) ดังนี้
ก. f(x) = 2 และ F(0) = 5
ข. f(x) = 3x - 7 และ F(1) = 6
ค. f(x) = x³ - x² + 7x - 10 และ F(0) = 2
ง. f(x) = x² - 6x + 9 และ F(3) = 6
จ. f(x) = (2x - 1)² และ F(2) = 10
3. จงหาค่า dx/dy จากสมการต่อไปนี้
ก. 5x² - 2y² - 6xy = 6
ข. 3y + x² - 3y² = 2 - 6x
ค. y² - 4x²y + x - 4y = y - 6
4. กำหนดให้ h แทน ความสูงของทรงกรวย และ r แทน ความยาวรัศมีที่ฐานของทรงกรวย และให้สูตรการหาปริมาตรทรงกระบอกทรงกรวยเท่ากับ (πr²h)/3 ถ้าปริมาตรทรงกรวยเท่ากับ 1,540 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ h เทียบกับ r เปลี่ยน r จาก 2 ซม. เป็น 3 ซม. เป็นเท่าใด
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ h เทียบกับ r เมื่อ r = 7 ซม.
5. จงหาลิมิตของ f(x) ต่อไปนี้
ก. f(x) = 10x - 22 เมื่อ x เข้าใกล้ 1
ข. f(x) = x² + 3x + 9เมื่อ x เข้าใกล้ 0
ค. f(x) = x³ - 6x² + 3x - 4  เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ง. f(x) = x⁴ + 2x³ + x^-2 + 3x - 4 เมื่อ x เข้าใกล้ 1
6. จงหาค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ/หรือค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f(x) = x² - 3x + 4
7. จงหาพื้นที่ระหว่างกราฟ f(x) = x² – 4 กับ g(x) = 4x - 7
ข้อ 8 – 10 กำหนด f(x) และ g(x) ต่อไปนี้ จงหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
ให้ f(x) = -3x³ - 4x² + 20x – 19 และ f(x) = 5x³ + 2x² - 4x + 7
8. ปฏิยานุพันธ์ของ f(x) + g(x) ที่ x = 0 ถึง x = 2
9. ปฏิยานุพันธ์ของ f(x) - g(x) ที่ x = -2 ถึง x = 2
10. ปฏิยานุพันธ์ไม่จำกัดเขตของ (f(x))²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัดชุดที่ 4 (18 มี.ค. 2559)
1. จงหาลิมิตของ f(x) ต่อไปนี้
ก. f(x) = 4x เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ตอบ 8
ข. f(x) = 6x^-1 + 7x เมื่อ x เข้าใกล้ 0
ตอบ ไม่มีลิมิต
ค. f(x) = 2x² - 4x - 6x^-1 เมื่อ x เข้าใกล้ -2
ตอบ 19
ง. f(x) = 110 - 2x³ เมื่อ x เข้าใกล้ 5
ตอบ -140
2. กำหนดให้ f(x) = x³ - 8 และ g(x) = x - 2 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ก. f(x) + g(x)
ตอบ 0
ข. 2f(x) - 4g(x)
ตอบ 0
ค. [[f(x)]² ][(0.5)g(x)]
ตอบ 0
ง. (f(x))(g(x))^-1
ตอบ 12
3. ถ้า f(x) = x² - 4x + 4 และ g(x) = x² - x - 2 จงหาลิมิตของ ^f(x)/_g(x) เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ตอบ 0
4. กำหนด f(x) = 4x² - 6x + 3 และ g(x) = 6x³ - 4x² + x - 7 จงหาลิมิตของฟังก์ชันในเงื่อนไขดังนี้
ก. ^f(x)/_g(x)ต่อไปนี้ เมื่อ x เข้าใกล้ -1
ตอบ -13/18
ข. ^g(x)/_f(x)ต่อไปนี้ เมื่อ x เข้าใกล้ 0
ตอบ -7/3
5. จงหาลิมิตของ AB²C เมื่อ x เข้าใกล้ 2 กำหนดให้ A = ¹/x-2 , B = x² - 4 และ C = (x + 2)²
ตอบ 64
6. จงหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ก. y = x³ - 3x + 2
ตอบ y' = x² - 3
ข. y = 2x⁴ - 6x³ - 2x^-1 - 3x^-4 + 6
ตอบ y' = 8x³ – 18x² + 2x^-2 + 12x^-5
ค. y = 7x - 4x^-1 + 10
ตอบ y' = 7 + 4x^-2
7. จงหาค่า dy/dx จากสมการต่อไปนี้
ก. x² + 4y² - 6xy = 4
ตอบ ^dy/_dx = (6y – 2x)(8y – 6x)^-1
ข. y - 6x + 4x² - 60 = 0
ตอบ ^dy/_dx = 6 - 8x
ค. 2y² - 4x + 3 - 4xy = 2
ตอบ ^dy/_dx = (4y + 4)(4y – 4x)^-1
ง. x² - 14x + 2xy = y²
ตอบ ^dy/_dx = (14 – 2x – 2y)(2x – 2y)^-1
จ. 6x + 3y = 2y^{2 -} 4x²
ตอบ ^dy/_dx = (14)(4y – 3)^-1
8. จงหาค่า dx/dy ที่จุด (1, 3) จากสมการ 6y² - 3xy + 4x² = 10
ตอบ ^dx/_dy ที่จุด (1, 3) เท่ากับ 33
9. จงหาค่า dy/dx ที่จุด (0, 0) จากสมการ -10xy + 4x² + 5y² - 6y  = 3x + 2
ตอบ ^dy/_dx ที่จุด (0, 0) เท่ากับ -0.5
10. จงหา A + B - 2C ในเงื่อนไขดังนี้
A = f'(3) จาก f(x) = 4x² - 6x + 9
B = f''(3) จาก f(x) = 9x³ - x + 1
C = ลิมิตของ (x² - 2x + 1)(x - 1)^-1เมื่อ x เข้าใกล้ 1
ตอบ A + B - 2C = 180
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย ชุดที่ 4

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 5

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น

แบบฝึกหัด ชุดที่ 5

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดท้ายเรื่อง สถิติ ชุดที่ 1 25 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที
ข้อที่ 1 - 7 จงหา f'(x) และหาค่าตามที่กำหนด
1. f(x) = 12x และหา f'(1)
2. f(x) = x³ - x²+ x - 2 และหา f''(3)
3. f(x) = x² - 6x + 8 และหา f'(2)
4. f(x) = 4x⁴ - 3x³ - 2x + 2 และหา f''(1)
5. f(x) = x³ - 3x² - 4x + 1 และหา f'(2)
6. f(x) = 2x³ - 9x² - 6x + 3 และหา f'(0)
7. f(x) = 3x⁵ - 4x⁴ - 2x + 3 - 3x^-1 และหา f''(1)
8. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย y เทียบกับ x ของ f(x) = 6x³ - 4x² + 3x - 4 เมื่อ x = 1 เป็น x = -1 มากกว่าหรือน้อยกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย y เทียบกับ x ของ f(x) = 2x⁴ - 3x³ - 2x² + 10 เมื่อ x = -2 เป็น x = 2 อยู่เท่าไร
9. กำหนดให้ h แทน ความสูงของทรงกระบอก และ r แทน ความยาวรัศมีที่ฐานของทรงกระบอก และให้สูตรการหาปริมาตรทรงกระบอกเท่ากับ πr²h ถ้าปริมาตรทรงกระบอกเท่ากับ 140 ลูกบาศก์เซนติเมตร
ก. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ h เทียบกับ r เปลี่ยน r จาก 7 ซม. เป็น 14 ซม.
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงของ h เทียบกับ r เมื่อ r = 1 ซม.
10. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่ทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส เทียบกับความยาวด้าน เมื่อความยาวด้านเปลี่ยนจาก 2 ซม. เป็น 7 ซม.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัดชุดที่ 3 (13 มี.ค. 2559)
1. ให้ f(x-2) = 2x + 2 และ g(f(x)) = x² + 2x + 14 จงหา g'(1)
ตอบ g'(1) = -1.5
2. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง f(x) = 2x³ + 6x² - 9x + 10 ณ x = 1
ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัส ที่ x = 1 เท่ากับ 24
3. จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม x² - 6x +  y² + 4y + 9 = 0 ที่ x = 1
ตอบ สมการเส้นสัมผัสวงกลมที่ x = 1 คือ y = -0.5x + 1.5
4. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f(x) = -2x² - 9x + 18 มากกว่าหรือน้อยกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง h(x) = 10x³ + 20x - 200 ณ x = 10 อยู่เท่าใด
ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง h(x) ณ x = 10 มากกว่าค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f(x) อยู่ 571.875
5. ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน g(x) = 2x² + 6x + 10 มากกว่าหรือน้อยกว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง g(x) = 2x² + 6x + 10 ณ x = 12 อยู่เท่าใด
ตอบ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง g(x) ณ x = 12 มากกว่าค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f(x) อยู่ 48.5
6. จงหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันต่อไปนี้
ก. f(x) = 2x² + 10x + 10
ตอบ f’’(x) = 4
ข. f(x) = 7x³ - 10x² + x + 5
ตอบ f’’(x) = 42x – 20
ค. f(x) = x³ + 6x² - 35x - 9
ตอบ f’’(x) = 6x + 12
ง. f(x) = x³ + 15x² - 200x - 175
ตอบ f’’(x) = 6x + 30
จ. f(x) = x⁴ + 2x² - x - 17
ตอบ f’’(x) = 12x² + 4
7. กำหนดฟังก์ชันต่อไปนี้ ให้หาค่าตามที่กำหนด
ก. f(x) = 2x³ + 6x² - 10x - 1 : หาค่า f'(1)
ตอบ f’(1) = 8
ข. f(x) = x³ - 10x² + x - 2 : หาค่า f'(2)
ตอบ f’(2) = -29
ค. f(x) = 2x² + 6x - 35 : หาค่า f''(4)
ตอบ f’’(4) = 4
ง. f(x) = 10x² + 15x - 200 : หาค่า f'(3)
ตอบ f’(3) = 75
จ. f(x) = x⁴ + 4x² - 2x - 22 : หาค่า f''(1)
ตอบ f’’(1) = 20
8. ในการขายสินค้าชนิดหนึ่ง ราคา x บาท ได้กำไร 2500x - 15x² บาท จงหา
ก. ช่วงราคาขายใด เป็นช่วงที่สามารถขายแล้วได้กำไร
ตอบ ราคาขายที่สามารถขายแล้วได้กำไรจึงต้องมากกว่า 0 บาทและน้อยกว่า 166.67 บาท
ข. ณ ราคาขายเท่าใด จะทำให้ได้กำไรสูงสุด
ตอบ กำไรสูงสุด ประมาณ 104,166.67 บาท ที่ราคาขาย 83.33 บาท
9. มีเหล็กเส้นอยู่ 150 เมตร ต้องการล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากให้ได้พื้นที่ 132 ตารางเมตรโดยใช้เหล็กเส้นมากที่สุด ต้องล้อมรั้วด้วยเหล็กขนาดกว้าง x ยาวเท่าใด
ตอบ ต้องล้อมด้วยเหล็กขนาดกว้าง x ยาว เท่ากับ 2√32 x 2√32 เมตร
10. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยสมการ s(t) = 2t³ - t² + 12t - 16 จงหา
ก. ความเร็ว ณ t = 4
ตอบ 100 เมตร/วินาที
ข. วัตถุเคลื่อนไปได้ความเร็วสูงสุดเท่าใด
ตอบ วัตถุนี้ไม่มีความเร็วสูงสุด
ค. อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร่ง เมื่อ t = 1 นาที
ตอบ a'(t) = 12
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย ชุดที่ 3

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 4

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น

แบบฝึกหัด ชุดที่ 4

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัด ชุดที่ 6 20 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. จงหาลิมิตของ f(x) ต่อไปนี้
ก. f(x) = 4x เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ข. f(x) = 6x^-1 + 7x เมื่อ x เข้าใกล้ 0
ค. f(x) = 2x² - 4x - 6x^-1 เมื่อ x เข้าใกล้ -2
ง. f(x) = 110 - 2x³ เมื่อ x เข้าใกล้ 5
2. กำหนดให้ f(x) = x³ - 8 และ g(x) = x - 2 จงหาลิมิตของฟังก์ชันต่อไปนี้ เมื่อ x เข้าใกล้ 2
ก. f(x) + g(x)
ข. 2f(x) - 4g(x)
ค. [[f(x)]² ][(0.5)g(x)]
ง. (f(x))(g(x))^-1
3. ถ้า f(x) = x² - 4x + 4 และ g(x) = x² - x - 2 จงหาลิมิตของ ^f(x)/_g(x)ต่อไปนี้ เมื่อ x เข้าใกล้ 2
4. กำหนด f(x) = 4x² - 6x + 3 และ g(x) = 6x³ - 4x² + x - 7 จงหาลิมิตของฟังก์ชันในเงื่อนไขดังนี้
ก. ^f(x)/_g(x)ต่อไปนี้ เมื่อ x เข้าใกล้ -1
ข. ^g(x)/_f(x)ต่อไปนี้ เมื่อ x เข้าใกล้ 0
5. จงหาลิมิตของ AB²C เมื่อ x เข้าใกล้ 2 กำหนดให้ A = ¹/x-2 , B = x² - 4 และ C = (x + 2)²
6. จงหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ก. y = x³ - 3x + 2
ข. y = 2x⁴ - 6x³ - 2x^-1 - 3x^-4 + 6
ค. y = 7x - 4x^-1 + 10
7. จงหาค่า dy/dx จากสมการต่อไปนี้
ก. x² + 4y² - 6xy = 4
ข. y - 6x + 4x² - 60 = 0
ค. 2y² - 4x + 3 - 4xy = 2
ง. x² - 14x + 2xy = y²
จ. 6x + 3y = 2y^{2 -} 4x²
8. จงหาค่า dx/dy ที่จุด (1, 3) จากสมการ 6y² - 3xy + 4x² = 10
9. จงหาค่า dy/dx ที่จุด (0, 0) จากสมการ -10xy + 4x² + 5y² - 6y  = 3x + 2
10. จงหา A + B - 2C ในเงื่อนไขดังนี้
A = f'(3) จาก f(x) = 4x² - 6x + 9
B = f''(3) จาก f(x) = 9x³ - x + 1
C = ลิมิตของ (x² - 2x + 1)(x - 1)^-1เมื่อ x เข้าใกล้ 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัดชุดที่ 2 (12 มี.ค. 2559)
วิธีทำแบบเต็ม Upload ใน Photobucket Click here
1. เส้นสัมผัสกราฟฟังก์ชัน y = 4x⁵ – 6x³ + 9x – 2 ที่ x = 0 มีจุดตัดแกน X หรือไม่
ตอบ เส้นสัมผัสมีจุดตัดแกน X ที่ (²/₉, 0)
2. ถ้า h(x) = g(x)f(x), h(2) = g’(2) = f(2) = 4 จงหาค่า h’(2) เมื่อ f’(2) = 7
ตอบ h(2) = 23
3. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = 3(x + 2a)(x – 2b) เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว และจงหาค่าของ f’(0)
ตอบ f'(x) = 6x + 6a - 6b และ f'(0) = 6a - 6b
4. จงหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันต่อไปนี้
ก. y = (x - 10)⁵
ตอบ y'' = 20(x - 10)³
ข. y = 2x³ + 2x – x^-2
ตอบ y'' = 12x - 2x^-4
ค. y = 4x⁴ - 3x³ - 2x² - x
ตอบ y'' = 48x² - 18x - 4
5. ถ้าลูกบอลลูกหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยสมการ s(t) = t³ – t²+ t + 10 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร่ง ณ เวลาใดๆ
ตอบ a'(t) = 6
6. จากบทนิยามของเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า “เส้นตรงสองเส้นใดๆ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน ผลคูณของความชันของเส้นตรงสองเส้นดังกล่าว เท่ากับ -1” จงหาว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกราฟ g(x) = 12x³ – 6x² + 4x – 12 ที่ x = 2 มีสมการเป็นอย่างไร
ตอบ y = ¹/₁₂₄x + ^4147/₆₂
7. จากบทนิยามของเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า “เส้นตรงสองเส้นใดๆ ขนานซึ่งกันและกัน ความชันของเส้นตรงสองเส้นดังกล่าวจะเท่ากัน” จงหาว่าเส้นตรงที่ขนานกับเส้นสัมผัสกราฟ h(x) = x³ – x² - x + 6 ที่ x = 3 และเส้นตรงนั้นผ่านจุด (-3, -12) มีสมการเป็นอย่างไร
ตอบ y = 20x + 48
8. กำหนดให้ f(x) = 5x³ + 10x² – 16 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสกราฟ f(x) ที่ x = 1
ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสกราฟ f(x) : f''(1) = 50
9. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ (ถ้ามี)
ก. f(x) = 7x² – 10x + 19
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ ¹⁰⁸/₇ และไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ข. f(x) = 2x³ – 5x² – 10x + 17
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ (-(145√85)-857)/54 และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ ((145 √85)-857)/54
ค. f(x) = 4x³ + 6x² + 3x – 12
ตอบ ไม่มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ง. f(x) = 0.25x⁴ + x³ + 1.5x² + x + 1.5
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ ⁵/₄ และไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
จ. f(x) = 2x⁴ + 8
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ 8 และไม่มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์
10. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน ในช่วงต่อไปนี้ (ถ้ามี)
ก. f(x) = x² – 3x + 10 ในช่วง [-2, 0]
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 5.5 และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 20 ในช่วง [-2, 0]
ข. f(x) = x² – 5x + 17 ในช่วง [0, 4]
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 10.75 และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 17 ในช่วง [0, 4]
ค. f(x) = x³ + 4x² – 12x – 10 ในช่วง [-2, 2]
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ - ³³⁸/₂₇ และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 16 ในช่วง [-2, 2]
ง. f(x) = x³ + 12x² + 1.5x + 2.5 ในช่วง [-4, -1]
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 10 และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 124.5 ในช่วง [-4, -1]
จ. f(x) = 6.75x⁴ + x ในช่วง [-2, 6]
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ -0.25 และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 8,754 ในช่วง [-2, 6]
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย ชุดที่ 2

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 3

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น

แบบฝึกหัด ชุดที่ 3

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัด ชุดที่ 5 19 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. ให้ f(x-2) = 2x + 2 และ g(f(x)) = x² + 2x + 14 จงหา g'(1)
2. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง f(x) = 2x³ + 6x² - 9x + 10 ณ x = 1
3. จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม x² - 6x +  y² + 4y + 9 = 0 ที่ x = 1
4. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน f(x) = -2x² - 9x + 18 มากกว่าหรือน้อยกว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง h(x) = 10x³ + 20x - 200 ณ x = 10 อยู่เท่าใด
5. ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน g(x) = 2x² + 6x + 10 มากกว่าหรือน้อยกว่าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง g(x) = 2x² + 6x + 10 ณ x = 12 อยู่เท่าใด
6. จงหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันต่อไปนี้
ก. f(x) = 2x² + 10x + 10
ข. f(x) = 7x³ - 10x² + x + 5
ค. f(x) = x³ + 6x² - 35x - 9
ง. f(x) = x³ + 15x² - 200x - 175
จ. f(x) = x⁴ + 2x² - x - 17
7. กำหนดฟังก์ชันต่อไปนี้ ให้หาค่าตามที่กำหนด
ก. f(x) = 2x³ + 6x² - 10x - 1 : หาค่า f'(1)
ข. f(x) = x³ - 10x² + x - 2 : หาค่า f'(2)
ค. f(x) = 2x² + 6x - 35 : หาค่า f''(4)
ง. f(x) = 10x² + 15x - 200 : หาค่า f'(3)
จ. f(x) = x⁴ + 4x² - 2x - 22 : หาค่า f''(1)
8. ในการขายสินค้าชนิดหนึ่ง ราคา x บาท ได้กำไร 2500x - 15x² บาท จงหา
ก. ช่วงราคาขายใด เป็นช่วงที่สามารถขายแล้วได้กำไร
ข. ณ ราคาขายเท่าใด จะทำให้ได้กำไรสูงสุด
9. มีเหล็กเส้นอยู่ 150 เมตร ต้องการล้อมรั้วรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากให้ได้พื้นที่ 132 ตารางเมตรโดยใช้เหล็กเส้นมากที่สุด ต้องล้อมรั้วด้วยเหล็กขนาดกว้าง x ยาวเท่าใด
10. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยสมการ s(t) = 2t³ - t² + 12t - 16 จงหา
ก. ความเร็ว ณ t = 4
ข. วัตถุเคลื่อนไปได้ความเร็วสูงสุดเท่าใด
ค. อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร่ง เมื่อ t = 1 นาที

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัดชุดที่ 1 (11 มี.ค. 2559)
1. กำหนดให้ f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง เมื่อ x = 2 โดย f(x) = 4x² + ax + 2 เมื่อ x > 2 และ f(x) = 6a เมื่อ x ≤ 2 จงหาค่าของ a เมื่อให้ a เป็นจำนวนจริง
ตอบ a = 4.5
2. จงหาว่า f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง เมื่อ x = 5 และ x = -5 หรือไม่ เมื่อกำหนดให้
f(x) = x³ + 6x + 2 เมื่อ x > 5 , f(x) = 6x² + 7 เมื่อ -2 < x ≤ 5 และ f(x) = -x + 12 เมื่อ เมื่อ x ≤ -2
ตอบ f(x) มีความต่อเนื่อง เมื่อ x = 5 (f(5) = 157 และ limit ซ้ายและขวาเท่ากับ 157) และเมื่อ x = -5 (f(-5) = 17 และ limit ซ้ายและขวาเท่ากับ 17)
3. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
ก. y = (6x - 3)⁹
ตอบ y' = 54(6x - 3)⁸
ข. y = (10x² + 2x - 1)¹²
ตอบ y' = (240x + 24)(10x² + 2x - 1)¹¹
ค. y = 12x⁵ + 6x⁴ - 3x^-3 + 2x
ตอบ y' = 60x⁴ + 24x³ + 9x^-4 + 2
ง. y = x² + 2 - 4x^0.5 + 6x^-2
ตอบ y' = 2x + 2x^-0.5 - 12x^-3
จ. y = ⁵/₁₂x² - 16x + 3
ตอบ y' = ⁵/₆x - 16
ฉ. y = -12x^-0.5
ตอบ y' = 6x^-1.5
4. ถ้า f(x) = 12x⁶ + 6x³ - 3x² + x - 14 แล้วจงหาค่าของ f''(10)
ตอบ f''(10) = 3,600,354
5. ถ้า f(x) = (12x - 5)g(x) และ g'(2) = 10 แล้ว f'(2) เท่ากับเท่าใด เมื่อ g(2) = 1
ตอบ f'(2) = 202
6. หากอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ g เมื่อ x = 6 มีค่าเป็น 2 และ (f+g)(x) = (14x - 2)(g(x)) ถ้า (f+g)'(6) = 100 จงหา g(6)
ตอบ g(6) = -³²/₇
7. จงหาความชันและสมการเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน h(x) = ¹/₁₂x³ + ¹/₆x² + ²/₃x - 1 ที่จุด (1, -1/12)
ตอบ m = 1.25 และสมการเส้นสัมผัส y = ⁵/₄x – ⁴/₃
8. อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน จาก x = -5 เป็น x = 6 ของ f(x) = 2x⁶ - 3x³ - x² - 2x + 20 เป็นเท่าใด
ตอบ อัตราการเปลี่ยนแปลงเท่ากับ 5,546
9. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่สอดคล้องกับสมการ s(t) = 2t³ + 6t² - 12t + 3 เมื่อ t เป็นเวลาที่ผ่านไป จงหาว่า
ก. ระยะทางจากเริ่มต้น เมื่อผ่านไป 4 วินาที
ตอบ s(4) = 179 เมตร
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางเมื่อเวลา t ใดๆ
ตอบ v(t) = 6t² + 12t - 12
ค. ความเร็วที่ t = 5 วินาที
ตอบ v(5) = 198 เมตร/วินาที
ง. สมการความเร่งของการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้
ตอบ a(t) = 12t + 12
10. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่สอดคล้องกับสมการ s(t) = t⁴ - 5t² + 7t + 12 เมื่อ t เป็นเวลาที่ผ่านไป จงหาว่า
ก. ความเร็วที่ t = 2 วินาที
ตอบ v(2) = 19 เมตร/วินาที
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเมื่อเวลา t ใดๆ
ตอบ a(t) = 12t² - 10
ค. ความเร่งที่ t = 0.5 วินาที
ตอบ a(0.5) = -7 เมตร/วินาที²
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย ชุดที่ 1

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 2

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น

แบบฝึกหัด ชุดที่ 2

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัด ชุดที่ 4 18 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. เส้นสัมผัสกราฟฟังก์ชัน y = 4x⁵ – 6x³ + 9x – 2 ที่ x = 0 มีจุดตัดแกน X หรือไม่
2. ถ้า h(x) = g(x)f(x), h(2) = g’(2) = f(2) = 4 จงหาค่า h’(2) เมื่อ f’(2) = 7
3. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = 3(x + 2a)(x – 2b) เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว และจงหาค่าของ f’(0)
4. จงหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันต่อไปนี้
ก. y = (x - 10)⁵
ข. y = 2x³ + 2x – x^-2
ค. y = 4x⁴ - 3x³ - 2x² - x
5. ถ้าลูกบอลลูกหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยสมการ s(t) = t³ – t²+ t + 10 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร่ง ณ เวลาใดๆ
6. จากบทนิยามของเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า “เส้นตรงสองเส้นใดๆ ตั้งฉากซึ่งกันและกัน ผลคูณของความชันของเส้นตรงสองเส้นดังกล่าว เท่ากับ -1” จงหาว่าเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกราฟ g(x) = 12x³ – 6x² + 4x – 12 ที่ x = 2 มีสมการเป็นอย่างไร
7. จากบทนิยามของเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า “เส้นตรงสองเส้นใดๆ ขนานซึ่งกันและกัน ความชันของเส้นตรงสองเส้นดังกล่าวจะเท่ากัน” จงหาว่าเส้นตรงที่ขนานกับเส้นสัมผัสกราฟ h(x) = x³ – x² - x + 6 ที่ x = 3 และเส้นตรงนั้นผ่านจุด (-3, -12) มีสมการเป็นอย่างไร
8. กำหนดให้ f(x) = 5x³ + 10x² – 16 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงความชันของเส้นสัมผัสกราฟ f(x) ที่ x = 1
9. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ (ถ้ามี)
ก. f(x) = 7x² – 10x + 19
ข. f(x) = 2x³ – 5x² – 10x + 17
ค. f(x) = 4x³ + 6x² + 3x – 12
ง. f(x) = 0.25x⁴ + x³ + 1.5x² + x + 1.5
จ. f(x) = 2x⁴ + 8
10. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน ในช่วงต่อไปนี้ (ถ้ามี)
ก. f(x) = x² – 3x + 10 ในช่วง [-2, 0]
ข. f(x) = x² – 5x + 17 ในช่วง [0, 4]
ค. f(x) = x³ + 4x² – 12x – 10 ในช่วง [-2, 2]
ง. f(x) = x³ + 12x² + 1.5x + 2.5 ในช่วง [-4, -1]
จ. f(x) = 6.75x⁴ + x ในช่วง [-2, 6]

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 1

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น 

แบบฝึกหัด ชุดที่ 1

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัด ชุดที่ 3 13 มี.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. กำหนดให้ f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง เมื่อ x = 2 โดย f(x) = 4x² + ax + 2 เมื่อ x > 2 และ f(x) = 6a เมื่อ x ≤ 2 จงหาค่าของ a เมื่อให้ a เป็นจำนวนจริง
2. จงหาว่า f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง เมื่อ x = 5 และ x = -5 หรือไม่ เมื่อกำหนดให้
f(x) = x³ + 6x + 2 เมื่อ x > 5 , f(x) = 6x² + 7 เมื่อ -2 < x ≤ 5 และ f(x) = -x + 12 เมื่อ เมื่อ x ≤ -2
3. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
ก. y = (6x - 3)⁹
ข. y = (10x² + 2x - 1)¹²
ค. y = 12x⁵ + 6x⁴  - 3x^-3 + 2x
ง. y = x² + 2 - 4x^0.5 + 6x^-2
จ. y = ⁵/₁₂x² - 16x + 3
ฉ. y = -12x^-0.5
4. ถ้า f(x) =  12x⁶ + 6x³  - 3x² + x - 14 แล้วจงหาค่าของ f''(10)
5. ถ้า f(x) = (12x - 5)g(x) และ g'(2) = 10 แล้ว f'(2) เท่ากับเท่าใด เมื่อ g(2) = 1
6. หากอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ g เมื่อ x = 6 มีค่าเป็น 2 และ (f+g)(x) = (14x - 2)(g(x)) ถ้า (f+g)'(6) = 100 จงหา g(6)
7. จงหาความชันและสมการเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชัน h(x) = ¹/₁₂x³ + ¹/₆x² + ²/₃x - 1 ที่จุด (1, -¹/₁₂) 
8. อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน จาก x = -5 เป็น x = 6 ของ f(x) = 2x⁶  -  3x³  -  x²  -  2x + 20 เป็นเท่าใด
9. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่สอดคล้องกับสมการ s(t) = 2t³ + 6t² - 12t + 3 เมื่อ t เป็นเวลาที่ผ่านไป จงหาว่า
ก. ระยะทางจากเริ่มต้น เมื่อผ่านไป 4 วินาที
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงระยะทางเมื่อเวลา t ใดๆ
ค. ความเร็วที่ t = 5 วินาที
ง. สมการความเร่งของการเคลื่อนที่ของวัตถุนี้
10. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่สอดคล้องกับสมการ s(t) = t⁴ - 5t² + 7t + 12 เมื่อ t เป็นเวลาที่ผ่านไป จงหาว่า
ก. ความเร็วที่ t = 2 วินาที
ข. อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเมื่อเวลา t ใดๆ
ค. ความเร่งที่ t = 0.5 วินาที