คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น ชุดที่ 5

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 5

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 10 6 พ.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที
1. จงหาค่า m จากสมการ C(m, m – 2) = 15
2. จงหาค่า n² จากสมการ 20 x P(n, 2) = C(n, 3) x 120
3. จาก C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ
กำหนดให้
A = C(6, 0) + C(6, 1) + … + C(6, 6)
B = C(7, 0) + C(7, 1) + … + C(7, 7)
X = C(m + 1, 0) + C(m + 1, 1) + … + C(m + 1, m + 1)
Y = C(m, 0) + C(m, 1) + … + C(m, m)
จงหาค่า m จากสมการ 2A + B + Y = X
4. บนเส้นรอบวงกลมของวงกลมวงหนึ่ง มีจุดคงที่ 12 จุด จงหา
ก. จำนวนคอร์ดของวงกลม โดยมีจุดเหล่านี้เป็นจุดปลายของคอร์ด
ข. จำนวนรูปห้าเหลี่ยมที่เป็นไปได้จากการสร้างโดยใช้จุดเหล่านี้เป็นจุดมุมของรูปห้าเหลี่ยม
5. จงหาจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป 14 เหลี่ยม
6. หนังสือแตกต่างกัน 12 เล่ม ในจำนวนนี้มีหนังสือเคมี 3 เล่ม หนังสือชีววิทยา 4 เล่ม และหนังสือฟิสิกส์ 5 เล่ม นักเรียนคนหนึ่งต้องการหนังสือไปอ่าน 5 เล่ม จงหาจำนวนวิธีเลือกหนังสือ เมื่อ
ก. ได้หนังสือฟิสิกส์ 3 เล่ม
ข. ได้หนังสือแต่ละวิชาอย่างน้อย 1 เล่ม
ค. ได้หนังสือเคมี ชีววิทยาอย่างละ 2 เล่ม
ง. ได้หนังสือเคมีอย่างน้อย 2 เล่ม
7. กล่องใบหนึ่ง บรรจุสลากเลข 0, 3 และ 9 อย่างละ 4 ใบ หยิบออกมาครั้งละ 2 ใบ จงหาวิธีที่
ก. ทั้งสองใบเป็นเลขคู่ทั้งหมด
ข. หยิบไม่ได้เลข 9 ออกมา
ค. หยิบได้เลข 3 ออกมาทั้งสองใบ
8. ในการเล่นเกมเกมหนึ่ง เป็นเกมที่ให้หยิบลูกบอลออกมาจากกล่อง โดยในกล่องมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก ลูกบอลสีเขียว 4 ลูก และลูกบอลสีดำ 6 ลูก แต่ละลูกมีความแตกต่างกัน ให้หยิบครั้งละ 4 ลูก จงหาวิธีที่
ก. ไม่มีเงื่อนไขอื่นกำหนด
ข. ได้ลูกบอลสีดำออกมาทั้งหมด
ค. ได้ลูกบอลสีเขียวอย่างน้อย 1 ลูก
ง. ได้ลูกบอลสีแดงและสีดำเท่านั้น
จ. ได้ลูกบอลสีเขียว 2 ลูก ลูกบอลสีแดงและสีดำอย่างละ 1 ลูก
9. ในการเข้าพักในบ้านพักแห่งหนึ่ง มีนักท่องเที่ยว 12 คน และมีห้องพัก 3 ห้องๆละ 3 4 และ 5 คนตามลำดับ จงหาวิธีในการจัดนักท่องเที่ยวเข้าห้องพักโดยไม่มีเงื่อนไขอื่นกำหนด
10. มีคนงานชาย 7 คนและคนงานหญิง 5 คน ต้องการนำคนงานเหล่านี้ไปทำงาน 2 ประเภท ประเภทแรกต้องการคนงานชาย 2 คน และประเภทสองต้องการคนงาน 6 คน จะมีวิธีเลือกคนงานตามต้องการกี่วิธี
11. คนกลุ่มหนึ่ง มีครู 4 คน วิศวกร 5 คน ผู้พิพากษา 2 คน และสถาปนิก 6 คน ถ้าต้องการเลือกตัวแทนออกมาอย่างน้อย 1 คน จากคนเหล่านี้ เมื่อ
ก. เป็นตัวแทนมาจากทุกอาชีพ
ข. เป็นตัวแทนมาจากอาชีพใดก็ได้
12. กำหนดให้ A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} และ B = {1, 3, 5, 7} จงหา
ก. จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B โดยมีโดเมนเท่ากับ A
ข. จำนวนความสัมพันธ์จาก B ไป A โดยมีโดเมนเท่ากับ B

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 9 (24 เม.ย. 2559)
1. ให้ x เป็นรายได้ที่ได้ในแต่ละเดือน (พันบาท), y เป็นเงินส่วนที่ใช้ในการดูแลสวน (พันบาท) และ N แทนจำนวนเดือน จากการเก็บข้อมูลรายได้ของสวนผลไม้แห่งหนึ่งและการใช้จ่ายในการดูแลสวนแห่งนี้ พบว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y เป็นเส้นตรง และได้ข้อมูลดังนี้
åx = 36, åy = 14, åxy = 100, åN = 7, åx² = 54 และ åy² = 98
จงหาว่าในเดือนที่สวนแห่งนี้มีรายได้ 9,120 บาท ต้องกันเงินไว้ใช้ในการดูแลสวนจำนวนเท่าไร
ตอบ 7,882.80 บาท
2. จากการเก็บข้อมูลยอดขายสินค้าของพนักงานขาย จำนวน 15 คน พบว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y เป็นเส้นตรง โดยให้ x เป็นยอดขายสินค้า (พันบาท), y เป็นจำนวนสินค้าที่ขายได้ (ชิ้น)
åx = 20, åy = 80, åxy = 550, åx² = 225 และ åy² = 600
จงหา
ก. ถ้าพนักงานขายสินค้าคนหนึ่งขายสินค้าได้ 20 ชิ้น จะได้ยอดขายทั้งหมดกี่บาท
ตอบ 47,053 บาท
ข. ยอดขาย 2 แสนบาท จะทำให้เกิดการขายสินค้าได้ทั้งหมดกี่ชิ้น
ตอบ 361 ชิ้น
ค. หากขายได้ตามข้อมูลในโจทย์ จงหาราคาขายเฉลี่ยต่อชิ้นของสินค้านี้
ตอบ 400 บาท
3. จากการจัดสรรงบประมาณหมู่บ้านแห่งหนึ่ง (x) จะมีการแบ่งสรรเป็นงบประมาณด้านการเกษตร (y) ในระยะ 7 ปีหลังสุด (หน่วยเป็นล้านบาท)

งบประมาณหมู่บ้าน (x)	1	3	4	6	8	12	14
งบประมาณด้านเกษตร (y)	0.2	0.9	2.2	2.9	3.9	4.9	6

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง หากต้องการงบประมาณด้านการเกษตร 12 ล้านบาท ต้องได้รับงบประมาณหมู่บ้านเท่าใด (ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
ตอบ 27 ล้านบาท
4. ตารางนี้แสดงข้อมูลของระดับรายได้ในแต่ละเดือนของครอบครัวในหมู่บ้านแห่งหนึ่ง จงหาสมการของเส้นตรงที่ใช้ทำนายรายจ่าย เมื่อรู้รายได้จากข้อมูลต่อไปนี้ (หน่วยหมื่นบาท) และหาคำตอบต่อไปนี้

รายจ่าย (x)	0.2	0.4	0.8	1.2	1.6	2
รายได้ (y)	1	1.2	1.6	2.1	2.7	3.5

ก. ครอบครัวสุขสันต์เป็นครอบครัวหนึ่งในหมู่บ้านนี้ ในแต่ละเดือนมีรายจ่าย 2,200 บาท จงหาว่าครอบครัวสุขสันต์มีรายได้ในแต่ละเดือนเท่าไร
ตอบ 3,580 บาท
ข. จากสมการเส้นตรงที่ใช้ทำนายรายจ่าย ในรูปแบบ x = ay + b จงหาค่าว่าถ้า y = 0.02 แล้ว x จะมีค่าเท่าใด
ตอบ x = -0.405
5. กำหนดให้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นเส้นตรง

x	2	5	9	14	18	20
y	14	20	23	28	33	37

ก. จงทำนายค่าของ y เมื่อ x = 35 (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ตอบ 53.52
ข. จากสมการความสัมพันธ์ทั่วไปของข้อมูลที่เป็นความสัมพันธ์เป็นเส้นตรง y = ax + b จงหาค่า 2a – 4b
ตอบ -47.94
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 9

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น ชุดที่ 4

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 4

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่อง ความน่าจะเป็น ชุดที่ 6 1 พ.ค. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที
1. จงหาจำนวนวิธีที่ให้ผู้ชาย 3 คนและผู้หญิง 3 คนมานั่งโต๊ะกลม โดยให้ผู้ชายนั่งสลับกับผู้หญิงทีละคน
2. การร้อยพวงมาลัยเป็นวงกลม 1 พวง ต้องใช้ดอกไม้ 8 ดอกที่แตกต่างกัน จะมีวิธีทั้งหมดเท่าไรในการร้อยพวงมาลัยโดยใช้ดอกไม้ 8 ดอกที่แตกต่างกัน
3. ลูกแก้ว 9 ลูก มีลวดลายแตกต่างกันทั้งหมด โดยมีลายเส้นขวางสีแดง ลายแนวตรงสีส้ม และอื่นๆ จงหา
ก. จำนวนวีธีที่จะวางเรียงลูกแก้วเป็นแนวเส้นตรง โดยให้ลายเส้นขวางสีแดง และลายแนวตรงสีส้มอยู่บริเวณปลายของแถวแต่ละฝั่ง
ข. จำนวนวิธีที่จะวางเรียงลูกแก้วเป็นแนววงกลม โดยให้ลายเส้นขวางสีแดง และลายแนวตรงสีส้มอยู่บริเวณตรงข้ามของแต่ละฝั่ง
ค. จำนวนวิธีที่จะวางเรียงลูกแก้วเป็นแนววงกลม โดยให้ลายเส้นขวางสีแดง และลายแนวตรงสีส้มอยู่ติดกัน
4. นักเรียน 8 คน ครู 8 คน มานั่งโต๊ะจีนกลม 1 โต๊ะ จงหาวิธีที่
ก. นักเรียนนั่งสลับกับครูครั้งละ 2 คน
ข. ครูนั่งติดกัน 4 คน
ค. นักเรียนนั่งติดกัน 4 คน
5. การร้อยพวงมาลัยเป็นวงกลม 1 พวง ต้องใช้ดอกไม้ 10 ดอกที่แตกต่างกัน รวมดอกรัก ดอกมะลิ ดอกดาวเรืองและอื่นๆ จงหาพวงมาลัยที่แตกต่างกัน เมื่อ
ก. ไม่มีเงื่อนไขใดๆ กำหนดเพิ่ม
ข. ดอกรักและดอกมะลิติดกัน
ค. ดอกดาวเรืองอยู่ตรงข้ามกับดอกรัก
6. คน 8 คนนั่งโต๊ะกลม จงหาจำนวนวิธีที่คน 8 คนนั่งสับแบบวงกลมอย่างน้อย 6 คน
7. นักเรียน 10 คนมีนักเรียนชายและนักเรียนหญิงจำนวนเท่ากัน จงหาวิธีเรียงสับเปลี่ยนของคนทั้งหมดแบบวงกลม เมื่อ
ก. ผู้ชายสลับกับผู้หญิงทีละ 2 คน
ข. ผู้หญิงสลับกับผู้ชายทีละ 5 คน
8. มีอักษร AA BBB C GGGG ถ้านำอักษรเหล่านี้ไปเรียงเป็นวงกลม จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนเท่าใด
9. นำตัวสระภาษาอังกฤษมาเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมแบบพลิกไม่ได้ จะทำได้กี่วิธี
10. มีเด็ก 9 คน ในจำนวนนี้มีเด็กชาย 4 คน ถ้านำครูเด็กทั้งหมดนั่งล้อมรอบเป็นวงกลม จะมีวิธีนั่งกี่วิธี เมื่อ
ก. เด็กหญิงนั่งติดกันทุกคน
ข. เด็กชายนั่งติดกันทุกคน
ค. เด็กชายนั่งแยกกันทุกคน

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 8 (23 เม.ย. 2559)
1. ถ้าคะแนนสอบของนักเรียนชั้นหนึ่ง มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 72 คะแนน แล้วมีนักเรียนสอบได้คะแนนมากกว่า 96 คะแนนอยู่ 0.82% จงหาคำตอบต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 1.95 เท่ากับ 0.4744/ ไปถึง z = 2.2 เท่ากับ 0.4861 และไปถึง z = 2.5 เท่ากับ 0.4938
ก. จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบนี้
ตอบ 0.1333
ข. จงหาว่าที่คะแนนเท่าใด ที่มีค่าตรงกับ Percentile ที่ 1.39
ตอบ 50.88 คะแนน
2. ในการเก็บข้อมูลเรื่องชั่วโมงการใช้งานของหลอดตะเกียบในห้องประชุมศูนย์ราชการ จำนวน 1,420 หลอด พบว่ามีการแจกแจงปกติ มีฐานนิยมเท่ากับ 1,240 ชั่วโมง และความแปรปรวนเท่ากับ 29,584 จงหาว่าจำนวนหลอดไฟที่มีการใช้งานตั้งแต่ 1,491.12 ชั่วโมงถึง 1,623.56 ชั่วโมง มีจำนวนเท่าใด เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 1.46 เท่ากับ 0.4279 และจาก z = 0 ไปถึง z = 2.23 เท่ากับ 0.4871
ตอบ 84 หลอด
3. คะแนนสอบไล่ประจำภาคเรียนมีการแจกแจงปกติ ถ้ามีนักเรียนสอบได้คะแนนมากกว่า 90 คะแนน อยู่ 0.02% และมีนักเรียนสอบได้คะแนนน้อยกว่า 45 คะแนนอยู่ 18.94% จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของการสอบครั้งนี้ เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 0.88 เท่ากับ 0.3106 และจาก z = 0 ไปถึง z = 2.88 เท่ากับ 0.4998
ตอบ 0.2156
4. กำหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ A ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1 เท่ากับ 0.3413
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1.2 เท่ากับ 0.3849
จงหาว่าพื้นที่จาก z = -1.2 ถึง z = 1 มีค่าเท่ากับเท่าใด
ตอบ 0.7262 ตารางหน่วย
5. คะแนนรายวิชาภาษาบาลีของนักเรียนห้องภาษาบาลีมีการแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานและความแปรปรวนเท่ากับ 40 และ 25 ตามลำดับ และมีเกณฑ์ผ่านเท่ากับ 44 คะแนน ถ้ากุ๊ก ไก่ กา และ กี่ เป็นนักเรียนในห้องเรียนนี้ โดยสอบได้คะแนน Percentile 15.87, 40.52, 59.48 และ 88.49 ตามลำดับ กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติ ดังนี้
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 0.24 เท่ากับ 0.0948
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1 เท่ากับ 0.3413
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1.2 เท่ากับ 0.3849
จงหาคำตอบต่อไปนี้
ก. ผู้ใดบ้างที่สอบผ่าน
ตอบ กี่
ข. ผลบวกของคะแนนของกุ๊กและกี่มากกว่าหรือน้อยกว่าผลบวกของคะแนนของไก่และกา
ตอบ ผลบวกของคะแนนของกุ๊กและกี่มากกว่าผลบวกของคะแนนของไก่และกา
ค. ถ้านักเรียนห้องนี้มี 38 คน จะมีนักเรียนอยู่กี่คนที่ได้คะแนนมากกว่ากี่
ตอบ 4 คน
6. น้ำหนักของพนักงานในบริษัทแห่งหนึ่ง ในปีพ.ศ. 2558 มีการแจกแจงปกติ ฐานนิยมน้ำหนักของพนักงานเท่ากับ 55.5 กิโลกรัม เมื่อเทียบกับปีก่อนหน้ามีอัตราเพิ่มขึ้น 1.4 กิโลกรัม และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 400 กรัม เพิ่มจากปีก่อน 50 กรัม น้ำหนักของพนักงานที่ตำแหน่ง Percentile ที่ 70.19 ในปีพ.ศ. 2558 จะอยู่ใน Percentile ตำแหน่งใดของน้ำหนักในปีพ.ศ. 2557 เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 0.53 เท่ากับ 0.2019 และจาก z = 0 ไปถึง z = 4.61 เท่ากับ 0.4999
ตอบ Percentile 99.99
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 8

คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 9

คณิตศาสตร์ - สถิติ
แบบฝึกหัด ชุดที่ 9

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องความน่าจะเป็น ชุดที่ 5 30 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. ให้ x เป็นรายได้ที่ได้ในแต่ละเดือน (พันบาท), y เป็นเงินส่วนที่ใช้ในการดูแลสวน (พันบาท) และ N แทนจำนวนเดือน จากการเก็บข้อมูลรายได้ของสวนผลไม้แห่งหนึ่งและการใช้จ่ายในการดูแลสวนแห่งนี้ พบว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y เป็นเส้นตรง และได้ข้อมูลดังนี้
åx = 36, åy = 14, åxy = 100, åN = 7, åx² = 54 และ åy² = 98
จงหาว่าในเดือนที่สวนแห่งนี้มีรายได้ 9,120 บาท ต้องกันเงินไว้ใช้ในการดูแลสวนจำนวนเท่าไร
2. จากการเก็บข้อมูลยอดขายสินค้าของพนักงานขาย จำนวน 15 คน พบว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y เป็นเส้นตรง โดยให้ x เป็นยอดขายสินค้า (พันบาท), y เป็นจำนวนสินค้าที่ขายได้ (ชิ้น)
åx = 20, åy = 80, åxy = 550, åx² = 225 และ åy² = 600
จงหา
ก. ถ้าพนักงานขายสินค้าคนหนึ่งขายสินค้าได้ 20 ชิ้น จะได้ยอดขายทั้งหมดกี่บาท
ข. ยอดขาย 2 แสนบาท จะทำให้เกิดการขายสินค้าได้ทั้งหมดกี่ชิ้น
ค. หากขายได้ตามข้อมูลในโจทย์ จงหาราคาขายเฉลี่ยต่อชิ้นของสินค้านี้
3. จากการจัดสรรงบประมาณหมู่บ้านแห่งหนึ่ง (x) จะมีการแบ่งสรรเป็นงบประมาณด้านการเกษตร (y) ในระยะ 7 ปีหลังสุด (หน่วยเป็นล้านบาท)

งบประมาณหมู่บ้าน (x)	1	3	4	6	8	12	14
งบประมาณด้านเกษตร (y)	0.2	0.9	2.2	2.9	3.9	4.9	6

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง หากต้องการงบประมาณด้านการเกษตร 12 ล้านบาท ต้องได้รับงบประมาณหมู่บ้านเท่าใด (ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
4. ตารางนี้แสดงข้อมูลของระดับรายได้ในแต่ละเดือนของครอบครัวในหมู่บ้านแห่งหนึ่ง จงหาสมการของเส้นตรงที่ใช้ทำนายรายจ่าย เมื่อรู้รายได้จากข้อมูลต่อไปนี้ (หน่วยหมื่นบาท) และหาคำตอบต่อไปนี้

รายจ่าย (x)	0.2	0.4	0.8	1.2	1.6	2
รายได้ (y)	1	1.2	1.6	2.1	2.7	3.5

ก. ครอบครัวสุขสันต์เป็นครอบครัวหนึ่งในหมู่บ้านนี้ ในแต่ละเดือนมีรายจ่าย 2,200 บาท จงหาว่าครอบครัวสุขสันต์มีรายได้ในแต่ละเดือนเท่าไร
ข. จากสมการเส้นตรงที่ใช้ทำนายรายจ่าย ในรูปแบบ x = ay + b จงหาค่าว่าถ้า y = 0.02 แล้ว x จะมีค่าเท่าใด
5. กำหนดให้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นเส้นตรง

x	2	5	9	14	18	20
y	14	20	23	28	33	37

ก. จงทำนายค่าของ y เมื่อ x = 35 (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ข. จากสมการความสัมพันธ์ทั่วไปของข้อมูลที่เป็นความสัมพันธ์เป็นเส้นตรง y = ax + b จงหาค่า 2a – 4b

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 7 (22 เม.ย. 2559)
1. กำหนดแผนภาพต้น – ใบดังนี้
12 | 4 4 4 4 7
13 | 2 2 3 4 5 6 7 8 8
14 | 6 7 8 9 9 9
15 | 0 2 3 3 5 7 9
16 | 3 3 3 7 7 7 7 7
ก. จงหาฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิต แล้วนำมาเปรียบเทียบกัน
ตอบ Mode = 167, Median = 149 และ Mean = 145.4 โดยที่ Mean < Median < Mode 
ข. ถ้านำข้อมูลเหล่านี้มาทำตารางแจกแจงความถี่ โดยให้อันตรภาคชั้นแรก คือ 123 – 127 จงหาว่าต้องสร้างตารางโดยใช้ข้อมูลแผนภาพต้น – ใบ แบ่งทั้งหมดกี่อันตรภาคชั้น 
ตอบ 9 อันตรภาคชั้น 
2. จงหาคะแนนเฉลี่ยของการสอบของนางสาว ฮ ในรายวิชาคณิตศาสตร์

ประเภท	งานย่อย	ทดสอบย่อย 1	ทดสอบย่อย 2	กลางภาคเรียน	ปลายภาคเรียน
คะแนนที่ได้	82	63	75	95	80
น้ำหนัก	30%	15%	15%	20%	20%

ตอบ 80.3 คะแนน
3. จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลต่อไปนี้
ก. 5, 25, 125, 625, 3125
ตอบ 125
ข. 10, 20, 40, 80, 160
ตอบ 40
4. แบคทีเรียชนิดหนึ่ง แบ่งตัวในแต่ละชั่วโมง ได้ดังนี้ 13, 52, 208, 832, 3328 ตัว จงหาว่าอัตราเฉลี่ยในการแบ่งตัวต่อชั่วโมงของแบคทีเรียชนิดนี้
ตอบ 208 ตัวต่อชั่วโมง
5. ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้เป็นข้อมูลแสดงคะแนนสอบรายวิชาการงานอาชีพของนักเรียน จำนวน 200 คน

คะแนน	ความถี่สัมพัทธ์
0 - 10	0.15
11 - 20	0.15
21 - 30	0.20
31 - 40	0.35
41 - 50	0.15

ก. สมัยเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ สอบได้คะแนน 31.5 คะแนน สมัยจะสอบได้ที่ Percentile ที่เท่าไร
ตอบ Percentile ที่ 53.5
ข. สมหญิงและสมศรีต่างเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ สมหญิงสอบได้คะแนนมากกว่าสมศรีอยู่เท่าไร โดยสมหญิงสอบได้ที่ Percentile ที่ 68 ส่วนสมศรีสอบได้ที่ Decile 2.85
ตอบ มากกว่าอยู่ 21.28 คะแนน
ค. จงหาค่ามัธยฐานของคะแนนสอบนี้
ตอบ 30.5 คะแนน
6. ข้อมูลเรียงจากน้อยไปหามากได้ดังนี้ a 2 4 5 7 b โดยค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน และพิสัยเท่ากับ 11 จงหาว่าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็นเท่าใด
ตอบ 0.6296
7. ถ้าให้ข้อมูลลำดับ 12, x1, …, x34 เป็นลำดับเลขคณิต และเรียงจากน้อยไปหามากแล้ว ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 182 จงหา
ก. มัธยฐานของข้อมูลนี้
ตอบ 182
ข. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ตอบ 100.9951
ค. สัมประสิทธิ์ของพิสัย
ตอบ 0.9341

วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 7

คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 8

คณิตศาสตร์ - สถิติ
แบบฝึกหัด ชุดที่ 8

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องความน่าจะเป็น ชุดที่ 4 29 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที
1. ถ้าคะแนนสอบของนักเรียนชั้นหนึ่ง มีการแจกแจงปกติโดยมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 72 คะแนน แล้วมีนักเรียนสอบได้คะแนนมากกว่า 96 คะแนนอยู่ 0.82% จงหาคำตอบต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 1.95 เท่ากับ 0.4744/ ไปถึง z = 2.2 เท่ากับ 0.4861 และไปถึง z = 2.5 เท่ากับ 0.4938
ก. จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของคะแนนสอบนี้
ข. จงหาว่าที่คะแนนเท่าใด ที่มีค่าตรงกับ Percentile ที่ 1.39
2. ในการเก็บข้อมูลเรื่องชั่วโมงการใช้งานของหลอดตะเกียบในห้องประชุมศูนย์ราชการ จำนวน 1,420 หลอด พบว่ามีการแจกแจงปกติ มีฐานนิยมเท่ากับ 1,240 ชั่วโมง และความแปรปรวนเท่ากับ 29,584 จงหาว่าจำนวนหลอดไฟที่มีการใช้งานตั้งแต่ 1,491.12 ชั่วโมงถึง 1,623.56 ชั่วโมง มีจำนวนเท่าใด เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 1.46 เท่ากับ 0.4279 และจาก z = 0 ไปถึง z = 2.23 เท่ากับ 0.4871
3. คะแนนสอบไล่ประจำภาคเรียนมีการแจกแจงปกติ ถ้ามีนักเรียนสอบได้คะแนนมากกว่า 90 คะแนน อยู่ 0.02% และมีนักเรียนสอบได้คะแนนน้อยกว่า 45 คะแนนอยู่ 18.94% จงหาสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของการสอบครั้งนี้ เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 0.88 เท่ากับ 0.3106 และจาก z = 0 ไปถึง z = 2.88 เท่ากับ 0.4998
4. กำหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ A ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1 เท่ากับ 0.3413
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1.2 เท่ากับ 0.3849
จงหาว่าพื้นที่จาก z = -1.2 ถึง z = 1 มีค่าเท่ากับเท่าใด
5. คะแนนรายวิชาภาษาบาลีของนักเรียนห้องภาษาบาลีมีการแจกแจงปกติ โดยมีมัธยฐานและความแปรปรวนเท่ากับ 40 และ 25 ตามลำดับ และมีเกณฑ์ผ่านเท่ากับ 44 คะแนน ถ้ากุ๊ก ไก่ กา และ กี่ เป็นนักเรียนในห้องเรียนนี้ โดยสอบได้คะแนน Percentile 15.87, 40.52, 59.48 และ 88.49 ตามลำดับ กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติ ดังนี้
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 0.24 เท่ากับ 0.0948
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1 เท่ากับ 0.3413
- พื้นที่จาก z = 0 ถึง z = 1.2 เท่ากับ 0.3849
จงหาคำตอบต่อไปนี้
ก. ผู้ใดบ้างที่สอบผ่าน
ข. ผลบวกของคะแนนของกุ๊กและกี่มากกว่าหรือน้อยกว่าผลบวกของคะแนนของไก่และกา
ค. ถ้านักเรียนห้องนี้มี 38 คน จะมีนักเรียนอยู่กี่คนที่ได้คะแนนมากกว่ากี่
6. น้ำหนักของพนักงานในบริษัทแห่งหนึ่ง ในปีพ.ศ. 2558 มีการแจกแจงปกติ ฐานนิยมน้ำหนักของพนักงานเท่ากับ 55.5 กิโลกรัม เมื่อเทียบกับปีก่อนหน้ามีอัตราเพิ่มขึ้น 1.4 กิโลกรัม และมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 400 กรัม เพิ่มจากปีก่อน 50 กรัม น้ำหนักของพนักงานที่ตำแหน่ง Percentile ที่ 70.19 ในปีพ.ศ. 2558 จะอยู่ใน Percentile ตำแหน่งใดของน้ำหนักในปีพ.ศ. 2557 เมื่อกำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งจาก z = 0 ไปถึง z = 0.53 เท่ากับ 0.2019 และจาก z = 0 ไปถึง z = 4.61 เท่ากับ 0.4999

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 9 (17 เม.ย. 2559)
1. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) = x³ + 2ax² - bx + c มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 7 และ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 จงหา |4a - 2b|
ตอบ 121
2. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f(x) = 2x³ – 6x + 3 (ถ้ามี)
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ -1 และค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เท่ากับ 7
3. จงหาค่าของ ∫⁷₂(x² – 2x + 4)dx + ∫⁹₃(3x² – 6x + 12)dx
ตอบ ¹⁹⁴⁵/₃
4. ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของ f ที่ x ใดๆ มีค่าเท่ากับ 12 จงหา
ก. f’(4) เมื่อ f’(0) = 3
ตอบ 51
ข. f(3) เมื่อ f(2) = 7
ตอบ 40
5. ถ้า f(x – 2) = x² – 4x + 4 และ g(f(x)) = 9x แล้ว g’of’(2) มีค่าเท่าไร
ตอบ 2.25
6. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f(x) = -6x² + 216 ต่างจากค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ g(x) = x³ – 4x² - 3x + 10 อยู่เท่าไร
ตอบ 224
7. จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้
ก. ∫[(2x - 4) + (7x² – 6x + 3)]dx
ตอบ ⁷/₃x³ – 2x² – x + c
ข. ∫[(8x² + 6x - 8) - (3x² – 9x^-2)]dx
ตอบ ⁵/₃x³ – 3x² – 8x – 9x^-1 + c
ค. ∫(7x^-1 – 6)5dx
ตอบ -¹/₄₂(x²)(7x^-1 – 6)⁶ + c
ง. ∫14x^-1dx
ตอบ 14ln |x| + c
จ. ∫(4x)(2x² – 6)¹¹dx
ตอบ ¹/₁₂(2x² – 6)¹² + c
8. จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ล้อมรอบของกราฟของ f(x) = -x² + 9 และ g(x) = x² – 6x + 9
ตอบ 9 ตารางหน่วย
9. จงตอบคำถามต่อไปนี้
ก. กำหนดให้ f(x) มีความต่อเนื่อง x = 2 และ x = -4
โดย f(x) = 2bx³ – 3ax² + 12 เมื่อ x > 2 , f(x) = ax² – bx เมื่อ -4 ≤ x ≤ 2 และ f(x) = -x + 3 เมื่อ x < -4 จงหาค่าของ |a – b|
ตอบ ¹²⁷/₁₇₆
ข. จงหาว่าฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องเมื่อ x = -9 และ x = 1 หรือไม่ เมื่อกำหนด g(x) = 6x³ – 2x² + 1 เมื่อ x > 0 , g(x) = 3x² – 2x + 4 เมื่อ -9 < x ≤ 0 และ g(x) = -(-x) เมื่อ x ≤ -9
ตอบ f(x) มีความต่อเนื่อง ที่ x = 1 และไม่มีความต่อเนื่อง x = -9
ค. กำหนดให้ h(x) มีความต่อเนื่องบนเซตจำนวนจริง โดย h(x) = 2x3 – 4cx² + 6x – 225 เมื่อ x > 5, h(x) = bx² – 9 เมื่อ 3 < x ≤ 5, h(x) = -4ax + 3b เมื่อ -3 < x ≤ 3 และ h(x) = a เมื่อ x ≤ -3 จงหาค่าของ |2a² + b^-2+c|
ตอบ ¹¹⁰³/₃₆₀
10. ถ้า s(t) เป็นระยะทางจากจุดเริ่มต้นเมื่อเวลา t, v(t) เป็นความเร็วเมื่อเวลา t และ a(t) เป็นความเร่งเมื่อเวลา t และกำหนดให้การเคลื่อนที่อยู่ในแนวระดับเส้นตรง จงหาคำตอบต่อไปนี้
ก. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งด้วยความเร็ว v(t) = t² – 2t + 23 และวัตถุอีกชิ้นเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งในสมการ s(t) = t³ + 4t² - 33t – 18 วัตถุสองชิ้นนี้มีความเร็วเท่ากันเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าไร และมีอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ณ เวลาใดๆ ต่างกันเท่าไร
ตอบ ความเร็วเท่ากันเมื่อเวลาผ่านไป 7 วินาที // อัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ณ เวลาใดๆ ต่างกัน 4t - 6
ข. ไชยณรงค์ขี่จักรยานคันหนึ่งบนถนนด้วยความเร่ง a(t) = 2t - 3 จงหาเวลาของจักรยานเมื่อจักรยานถูกขี่ไปได้ความเร็ว 10 เมตรต่อวินาทีเมื่อเริ่มปั่นออกมาโดยที่รถหยุดนิ่ง
ตอบ 5 วินาที
ค. รถบรรทุกวิ่งบนถนนด้วยความเร็ว v(t) = 2t³ – t² + 10t - 10 จงหาระยะทางของรถบรรทุกทรายระหว่างเวลาที่รถวิ่งได้ 10 วินาทีจนเวลา 12 วินาที
ตอบ 1,897.33 เมตร
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 9

คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 7

คณิตศาสตร์ - สถิติ
แบบฝึกหัด ชุดที่ 7

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องสถิติ ชุดที่ 9 24 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. กำหนดแผนภาพต้น – ใบดังนี้
12 | 4 4 4 4 7
13 | 2 2 3 4 5 6 7 8 8
14 | 6 7 8 9 9 9
15 | 0 2 3 3 5 7 9
16 | 3 3 3 7 7 7 7 7
ก. จงหาฐานนิยม มัธยฐาน และค่าเฉลี่ยเลขคณิต แล้วนำมาเปรียบเทียบกัน
ข. ถ้านำข้อมูลเหล่านี้มาทำตารางแจกแจงความถี่ โดยให้อันตรภาคชั้นแรก คือ 123 – 127 จงหาว่าต้องสร้างตารางโดยใช้ข้อมูลแผนภาพต้น – ใบ แบ่งทั้งหมดกี่อันตรภาคชั้น
2. จงหาคะแนนเฉลี่ยของการสอบของนางสาว ฮ ในรายวิชาคณิตศาสตร์

ประเภท	งานย่อย	ทดสอบย่อย 1	ทดสอบย่อย 2	กลางภาคเรียน	ปลายภาคเรียน
คะแนนที่ได้	82	63	75	95	80
น้ำหนัก	30%	15%	15%	20%	20%

3. จงหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของข้อมูลต่อไปนี้
ก. 5, 25, 125, 625, 3125
ข. 10, 20, 40, 80, 160
4. แบคทีเรียชนิดหนึ่ง แบ่งตัวในแต่ละชั่วโมง ได้ดังนี้ 13, 52, 208, 832, 3328 ตัว จงหาว่าอัตราเฉลี่ยในการแบ่งตัวต่อชั่วโมงของแบคทีเรียชนิดนี้
5. ข้อมูลดังตารางต่อไปนี้เป็นข้อมูลแสดงคะแนนสอบรายวิชาการงานอาชีพของนักเรียน จำนวน 200 คน

คะแนน	ความถี่สัมพัทธ์
0 - 10	0.15
11 - 20	0.15
21 - 30	0.20
31 - 40	0.35
41 - 50	0.15

ก. สมัยเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ สอบได้คะแนน 31.5 คะแนน สมัยจะสอบได้ที่ Percentile ที่เท่าไร
ข. สมหญิงและสมศรีต่างเป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ สมหญิงสอบได้คะแนนมากกว่าสมศรีอยู่เท่าไร โดยสมหญิงสอบได้ที่ Percentile ที่ 68 ส่วนสมศรีสอบได้ที่ Decile 2.85
ค. จงหาค่ามัธยฐานของคะแนนสอบนี้
6. ข้อมูลเรียงจากน้อยไปหามากได้ดังนี้ a 2 4 5 7 b โดยค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับมัธยฐาน และพิสัยเท่ากับ 11 จงหาว่าสัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็นเท่าใด
7. ถ้าให้ข้อมูลลำดับ 12, x1, …, x34 เป็นลำดับเลขคณิต และเรียงจากน้อยไปหามากแล้ว ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 182 จงหา
ก. มัธยฐานของข้อมูลนี้
ข. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ค. สัมประสิทธิ์ของพิสัย

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 8 (16 เม.ย. 2559)
1. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f(x) = 4x² – 14x + 12 ในช่วง [0, 4]
ตอบ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ -0.25 และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ เท่ากับ 20
2. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) = 2x³ + ax² + bx + c มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = -3 จงหา 2a + b – 2ab
ตอบ 180
3. จงหาจำนวนจริงบวกสองจำนวน ซึ่งรวมกันเท่ากับ 48 และผลคูณของสองจำนวนมีค่ามากที่สุด
ตอบ 24 และ 24
4. จงหาอนุพันธ์ของ ∫^x_-100(t² – 2t + 4)(t³ – 4t² + 9)dt
ตอบ (x² – 2x + 4)(x³ – 4x² + 9)
5. ถ้า s(t) เป็นระยะทางจากจุดเริ่มต้นเมื่อเวลา t, v(t) เป็นความเร็วเมื่อเวลา t และ a(t) เป็นความเร่งเมื่อเวลา t และกำหนดให้การเคลื่อนที่อยู่ในแนวระดับเส้นตรง จงหาคำตอบต่อไปนี้
ก. ถ้าวัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งด้วยความเร่ง a(t) = 3 – 2t จงหาระยะทางของวัตถุเมื่อเคลื่อนไปได้ 2.5 วินาที (กำหนดให้ v(0) = 2)
ตอบ 2.79 เมตร
ข. รถยนต์คันหนึ่งเร่งเครื่องยนต์จากวินาทีที่ 5 ด้วยความเร่ง a(t) = 10t + 20 จงหาความเร็วของรถยนต์เมื่อวินาทีที่ 7 (กำหนดให้ v(0) = 0)
ตอบ 60 เมตรต่อวินาที
ค. รถบรรทุกทรายวิ่งบนถนนเรียบด้วยความเร็ว v(t) = t³ – 2t² + 16t - 1 จงหาระยะทางของรถบรรทุกทรายระหว่างเวลา 45 วินาทีจนเวลา 1 นาที
ตอบ 2128.18 กิโลเมตร
ง. หากความเร็วของรถยนต์คันหนึ่ง v(t) = 4t² - 16t – 18 แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร่งเมื่อวินาทีที่ 12 เป็นเท่าไร
ตอบ 8 เมตรต่อวินาที³
จ. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งด้วยความเร็ว v(t) = 3t² – 6t + 4 และวัตถุอีกชิ้นเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งในสมการ s(t) = 5t⁴ – 8t³ + 32t – 6 วัตถุสองชิ้นนี้มีความเร่งเท่ากันเมื่อเวลาผ่านไปกี่นาที
ตอบ 0.2 และ 0.5 วินาที
6. จงหาค่าของปริพันธ์ ∫x²(2x + 5)³dx
ตอบ ¹/₄(2x + 5)⁴ + c
7. ลิมิตของการดำเนินการของ (f(x))(x² - 9) หารด้วย x – 3 ที่ x = 3 เท่ากับ 462 และ f’(3) = 21 แล้วค่าของ (f²(3))' มีค่าเท่าไร
ตอบ 154
8. กำหนดให้ f(x) = 9 + 5x + 4x² และ g(x) = x² – 2x
ก. ลิมิตของการดำเนินการคูณกันระหว่างรากที่สองของ f(x) กับ g(x) หารด้วย x ที่ x = 0 เป็นเท่าไร
ตอบ -6
ข. ลิมิตของการดำเนินการคูณกันระหว่าง f(x) กับ g(x) หารด้วย x - 2 ที่ x = 2 เป็นเท่าไร
ตอบ 70
9. ก. f(x) = |x| ต่อเนื่องที่ x = 0 หรือไม่
ตอบ f(x) มีความต่อเนื่องที่ x = 0
ข. จงหาว่าฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องเมื่อ x = -2 และ x = 3 หรือไม่
เมื่อกำหนด g(x) = 4x² – 2 เมื่อ x ³ 3 , g(x) = 12x – 2 เมื่อ -2 ≤ x < 3 และ g(x) = -5 เมื่อ x < -2
ตอบ g(x) มีความต่อเนื่อง ที่ x = 3 และไม่มีความต่อเนื่อง x = -2
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 8

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 9

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 9

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องสถิติ ชุดที่ 8 23 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) = x³ + 2ax² - bx + c มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 7 และ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 จงหา |4a - 2b|
2. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ f(x) = 2x³ – 6x + 3 (ถ้ามี)
3. จงหาค่าของ ∫⁷₂(x² – 2x + 4)dx + ∫⁹₃(3x² – 6x + 12)dx
4. ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของ f ที่ x ใดๆ มีค่าเท่ากับ 12 จงหา
ก. f’(4) เมื่อ f’(0) = 3
ข. f(3) เมื่อ f(2) = 7
5. ถ้า f(x – 2) = x² – 4x + 4 และ g(f(x)) = 9x แล้ว g’of’(2) มีค่าเท่าไร
6. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของ f(x) = -6x² + 216 ต่างจากค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ g(x) = x³ – 4x² - 3x + 10 อยู่เท่าไร
7. จงหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตต่อไปนี้
ก. ∫[(2x - 4) + (7x² – 6x + 3)]dx
ข. ∫[(8x² + 6x - 8) - (3x² – 9x^-2)]dx
ค. ∫(7x^-1 – 6)5dx
ง. ∫14x^-1dx
จ. ∫(4x)(2x² – 6)¹¹dx
8. จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ล้อมรอบของกราฟของ f(x) = -x² + 9 และ g(x) = x² – 6x + 9
9. จงตอบคำถามต่อไปนี้
ก. กำหนดให้ f(x) มีความต่อเนื่อง x = 2 และ x = -4
โดย f(x) = 2bx³ – 3ax² + 12 เมื่อ x > 2 , f(x) = ax² – bx เมื่อ -4 ≤ x ≤ 2 และ f(x) = -x + 3 เมื่อ x < -4 จงหาค่าของ |a – b|
ข. จงหาว่าฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องเมื่อ x = -9 และ x = 1 หรือไม่ เมื่อกำหนด g(x) = 6x³ – 2x² + 1 เมื่อ x > 0 , g(x) = 3x² – 2x + 4 เมื่อ -9 < x ≤ 0 และ g(x) = -(-x) เมื่อ x ≤ -9
ค. กำหนดให้ h(x) มีความต่อเนื่องบนเซตจำนวนจริง โดย h(x) = 2x3 – 4cx² + 6x – 225 เมื่อ x > 5, h(x) = bx² – 9 เมื่อ 3 < x ≤ 5, h(x) = -4ax + 3b เมื่อ -3 < x ≤ 3 และ h(x) = a เมื่อ x ≤ -3 จงหาค่าของ |2a² + b^-2+c|
10. ถ้า s(t) เป็นระยะทางจากจุดเริ่มต้นเมื่อเวลา t, v(t) เป็นความเร็วเมื่อเวลา t และ a(t) เป็นความเร่งเมื่อเวลา t และกำหนดให้การเคลื่อนที่อยู่ในแนวระดับเส้นตรง จงหาคำตอบต่อไปนี้
ก. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งด้วยความเร็ว v(t) = t² – 2t + 23 และวัตถุอีกชิ้นเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งในสมการ s(t) = t³ + 4t² - 33t – 18 วัตถุสองชิ้นนี้มีความเร็วเท่ากันเมื่อเวลาผ่านไปนานเท่าไร และมีอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ณ เวลาใดๆ ต่างกันเท่าไร
ข. ไชยณรงค์ขี่จักรยานคันหนึ่งบนถนนด้วยความเร่ง a(t) = 2t - 3 จงหาเวลาของจักรยานเมื่อจักรยานถูกขี่ไปได้ความเร็ว 10 เมตรต่อวินาทีเมื่อเริ่มปั่นออกมาโดยที่รถหยุดนิ่ง
ค. รถบรรทุกวิ่งบนถนนด้วยความเร็ว v(t) = 2t³ – t² + 10t - 10 จงหาระยะทางของรถบรรทุกทรายระหว่างเวลาที่รถวิ่งได้ 10 วินาทีจนเวลา 12 วินาที

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 7 (15 เม.ย. 2559)
1. จงหาค่าปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้
ก. ∫²₁(x - 3)dx
ตอบ -⁷/₂
ข. ∫^-2₀(6x³ - x² + 2x - 2)dx
ตอบ ⁸⁰/₃
ค. ∫¹⁵₆3dx
ตอบ 27
2. จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ล้อมรอบของกราฟของ f(x) = 4x² – 4x และ g(x) = 8
ตอบ 20 ตารางหน่วย
3. จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ล้อมรอบของกราฟของ f(x) = -x² + 4 และ g(x) = 2x² – 3x + 1
ตอบ 3 - Ö3 ตารางหน่วย
4. ถ้า F(x) = ∫(3 + 4x²)^0.5dx - ∫(x² – 4x + 4)dx แล้ว F(0) = 2 แล้ว F(3) มีค่าเท่าใด
ตอบ 208Ö39 - 1
5. จงใช้สมบัติของอินทิเกรตในการหาคำตอบในข้อต่อไปนี้
ก. ∫³₅(2x² + 6x)dx + ∫¹₃(2x² + 6x)dx
ตอบ -⁴⁶⁴/₃
ข. ∫⁷₀(25x⁴ + 20x³ + 15x²)dx + ∫⁹₇(25x⁴ + 20x³ + 15x²)dx
ตอบ 331,695
ค. -∫⁰₃(7.2x² – 2.4)dx
ตอบ 57.6
6. ถ้า d/dx(cos x) = - sin x จงหา dy/dx ของ y = cos(4x³ + 7x²)³⁶
ตอบ -36(4x³ + 7x²)³⁵(12x² + 14x) sin(4x³ + 7x²)³⁶
7. กำหนด f(x) = 2x³ – 3x² + 4x – 1 ถ้ามีเส้นสัมผัสเส้นโค้งมาสัมผัสที่จุด (0, -1)
ก. ความชันเส้นสัมผัส ณ จุด (x, y) ใดๆ คืออะไร
ตอบ m = 6x² – 6x + 4
ข. ถ้ามีเส้นตรงอีกเส้นมาตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นนี้ที่จุด x = -2 จงหาสมการของเส้นตรงนี้
ตอบ x + 4y + 38 = 0
8. จงหาว่า เมื่อกำหนดให้ f(x) = ∫(2x⁵ – 6x³)8dx แล้ว f’’(2) + f’(-1) มีค่าเท่าใด
ตอบ 2³⁴ x 11 + 2¹⁶
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 7

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 8

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 8

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่อง สถิติ ชุดที่ 7 22 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์หรือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ f(x) = 4x² – 14x + 12 ในช่วง [0, 4]
2. กำหนดให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ที่ทำให้ฟังก์ชัน f(x) = 2x³ + ax² + bx + c มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = 2 และ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x = -3 จงหา 2a + b – 2ab
3. จงหาจำนวนจริงบวกสองจำนวน ซึ่งรวมกันเท่ากับ 48 และผลคูณของสองจำนวนมีค่ามากที่สุด
4. จงหาอนุพันธ์ของ ∫^x_-100(t² – 2t + 4)(t³ – 4t² + 9)dt
5. ถ้า s(t) เป็นระยะทางจากจุดเริ่มต้นเมื่อเวลา t, v(t) เป็นความเร็วเมื่อเวลา t และ a(t) เป็นความเร่งเมื่อเวลา t และกำหนดให้การเคลื่อนที่อยู่ในแนวระดับเส้นตรง จงหาคำตอบต่อไปนี้
ก. ถ้าวัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งด้วยความเร่ง a(t) = 3 – 2t จงหาระยะทางของวัตถุเมื่อเคลื่อนไปได้ 2.5 วินาที (กำหนดให้ v(0) = 2)
ข. รถยนต์คันหนึ่งเร่งเครื่องยนต์จากวินาทีที่ 5 ด้วยความเร่ง a(t) = 10t + 20 จงหาความเร็วของรถยนต์เมื่อวินาทีที่ 7 (กำหนดให้ v(0) = 0)
ค. รถบรรทุกทรายวิ่งบนถนนเรียบด้วยความเร็ว v(t) = t³ – 2t² + 16t - 1 จงหาระยะทางของรถบรรทุกทรายระหว่างเวลา 45 วินาทีจนเวลา 1 นาที
ง. หากความเร็วของรถยนต์คันหนึ่ง v(t) = 4t² - 16t – 18 แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงความเร่งเมื่อวินาทีที่ 12 เป็นเท่าไร
จ. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งด้วยความเร็ว v(t) = 3t² – 6t + 4 และวัตถุอีกชิ้นเคลื่อนที่จากหยุดนิ่งในสมการ s(t) = 5t⁴ – 8t³ + 32t – 6 วัตถุสองชิ้นนี้มีความเร่งเท่ากันเมื่อเวลาผ่านไปกี่นาที
6. จงหาค่าของปริพันธ์ ∫x²(2x + 5)³dx
7. ลิมิตของการดำเนินการของ (f(x))(x² - 9) หารด้วย x – 3 ที่ x = 3 เท่ากับ 462 และ f’(3) = 21 แล้วค่าของ (f²(3))' มีค่าเท่าไร
8. กำหนดให้ f(x) = 9 + 5x + 4x² และ g(x) = x² – 2x
ก. ลิมิตของการดำเนินการคูณกันระหว่างรากที่สองของ f(x) กับ g(x) หารด้วย x ที่ x = 0 เป็นเท่าไร
ข. ลิมิตของการดำเนินการคูณกันระหว่าง f(x) กับ g(x) หารด้วย x - 2 ที่ x = 2 เป็นเท่าไร
9. ก. f(x) = |x| ต่อเนื่องที่ x = 0 หรือไม่
ข. จงหาว่าฟังก์ชันนี้มีความต่อเนื่องเมื่อ x = -2 และ x = 3 หรือไม่
เมื่อกำหนด g(x) = 4x² – 2 เมื่อ x ³ 3 , g(x) = 12x – 2 เมื่อ -2 ≤ x < 3 และ g(x) = -5 เมื่อ x < -2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง ความน่าจะเป็น ชุดที่ 3 (10 เม.ย. 2559)
1. จงหาคำตอบของแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. P(7, 3) + C(2, 2)
ตอบ 211
ข. 6P(4, 1) – C(5, 2)
ตอบ 14
ค. C(10, 7) – 2P(8, 3)
ตอบ -552
ง. 3C(7, 1) + P(3, 0)
ตอบ 22
2. ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคำว่า TELECOMMUNICATION จะสลับได้ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ
ก. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม
ตอบ 2,778,808,032,000 วิธี
ข. อักษรตัวเดียวกันอยู่ติดกัน
ตอบ 3,628,800 วิธี
3. มีนักเรียน 8 คน และครู 2 คน นั่งเรียงแถวยาว จงหาวิธีการนั่งที่ครูนั่งปิดหัวและท้ายแถว
ตอบ 80,460 วิธี
4. มีหนังสืออยู่ 10 เล่มที่แตกต่างกัน มีหนังสือภาษาไทย 4 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือเป็นแถวยาวแถวเดียวจะจัดได้กี่วิธีเมื่อ
ก. ให้หนังสือภาษาไทยแยกไปอยู่หัวและท้ายตำแหน่งละ 2 เล่ม
ตอบ 17,280 วิธี
ข. ให้หนังสือภาษาไทยอยู่ติดกัน 4 เล่มไม่ได้
ตอบ 3,507,840 วิธี
5. ต้องการจัดสรรคนงาน 8 คนเข้าทำงานใน 3 สายงาน สายงานก่อสร้างต้องการคนงาน 4 คน สายงานบรรทุกต้องการคนงาน 2 คนและสายงานควบคุมต้องการคนงาน 2 คน จงหาว่าจะมีวิธีในการบรรจุคนงานทั้ง 8 คนนี้กี่วิธี
ตอบ 420 วิธี
6. ถ้าต้องการจัดเลข 4 ตัวจาก 0 1 2 1 3 2 4 5 6 2 1 3 มาจัดเป็นจำนวนเต็มบวก 4 หลัก จะสามารถสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน
ตอบ 578 จำนวน
7. มีลูกบอลสีขาวเหมือนกัน 3 ลูก ลูกบอลสีเขียวเหมือนกัน 4 ลูก และลูกบอลสีดำเหมือนกัน 6 ลูก ต้องการนำมาใส่กล่องๆละ 1 ลูกที่เรียงเป็นแถวยาวทั้ง 13 ลูก จะมีวิธีการจัดใส่ทั้งหมดกี่วิธีเมื่อ
ก. ให้กล่องที่บรรจุลูกบอลสีเดียวกันวางติดกัน
ตอบ 6 วิธี
ข. ให้กล่องที่อยู่ริมสองด้านเป็นกล่องที่บรรจุลูกบอลสีเดียวกัน
ตอบ 18,480 วิธี
8. นักท่องเที่ยวกลุ่มหนึ่ง จำนวน 11 คน มีผู้ชาย 4 คน ให้นักท่องเที่ยวกลุ่มนี้เข้าพักในบ้านพักตากอากาศหลังหนึ่ง มีห้องนอน 4 ห้อง นอนได้ห้องละ 3 , 3 , 3 และ 2 คนตามลำดับ จงหาวิธีในการแบ่งคนเข้าห้องพักดังกล่าวโดย
ก. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
ตอบ 92,400 วิธี
ข. ทุกห้องต้องมีผู้ชายอยู่อย่างน้อยห้องละ 1 คน
ตอบ 15,120 วิธี
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง ความน่าจะเป็น ชุดที่ 3

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 7

คณิตศาสตร์ - แคลคูลัสเบื้องต้น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 7

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องแคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 9 17 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. จงหาค่าปริพันธ์จำกัดเขตต่อไปนี้
ก. ∫²₁(x - 3)dx
ข. ∫^-2₀(6x³ - x² + 2x - 2)dx
ค. ∫¹⁵₆3dx
2. จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ล้อมรอบของกราฟของ f(x) = 4x² – 4x และ g(x) = 8
3. จงหาพื้นที่ของอาณาบริเวณที่ล้อมรอบของกราฟของ f(x) = -x² + 4 และ g(x) = 2x² – 3x + 1
4. ถ้า F(x) = ∫(3 + 4x²)^0.5dx - ∫(x² – 4x + 4)dx แล้ว F(0) = 2 แล้ว F(3) มีค่าเท่าใด
5. จงใช้สมบัติของอินทิเกรตในการหาคำตอบในข้อต่อไปนี้
ก. ∫³₅(2x² + 6x)dx + ∫¹₃(2x² + 6x)dx
ข. ∫⁷₀(25x⁴ + 20x³ + 15x²)dx + ∫⁹₇(25x⁴ + 20x³ + 15x²)dx
ค. -∫⁰₃(7.2x² – 2.4)dx
6. ถ้า d/dx(cos x) = - sin x จงหา dy/dx ของ y = cos(4x³ + 7x²)³⁶
7. กำหนด f(x) = 2x³ – 3x² + 4x – 1 ถ้ามีเส้นสัมผัสเส้นโค้งมาสัมผัสที่จุด (0, -1)
ก. ความชันเส้นสัมผัส ณ จุด (x, y) ใดๆ คืออะไร
ข. ถ้ามีเส้นตรงอีกเส้นมาตั้งฉากกับเส้นสัมผัสเส้นนี้ที่จุด x = -2 จงหาสมการของเส้นตรงนี้
8. จงหาว่า เมื่อกำหนดให้ f(x) = ∫(2x⁵ – 6x³)8dx แล้ว f’’(2) + f’(-1) มีค่าเท่าใด

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง ความน่าจะเป็น ชุดที่ 2 (9 เม.ย. 2559)
1. จงหาคำตอบของแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. 4!3!
ตอบ 144
ข. 5!0!
ตอบ 120
ค. (7!2!)(3!)^-1
ตอบ 1,680
ง. (10!6!)(5!7!)^-1
ตอบ 4,320
จ. 9!(2!2!3!)^-1
ตอบ 15,120
ฉ. 40(2!3!)^-1
ตอบ ¹⁰/₃
2. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ในรูปของ Factorial
ก. 30 x 29 x 28 x 27
ตอบ 30!(26!)^-1
ข. (n + 1)(n)(n – 1)…(n – 8)(n – 9)
ตอบ ((n + 1)!)((n – 10)!)^-1
ค. 4n² – 2n
ตอบ ((2n)!)((2n – 2)!)^-1
3. จงหาค่าของ n จากสมการ 4(n – 1)!(n – 3)! = 6(n – 2)!n!
ตอบ ไม่มีจำนวนเต็มใดๆ ที่ทำให้ n ในสมการนี้เป็นจริง
4. จงหาค่าของ n จากสมการ 3(n + 1)!(n – 4)! = 9(n – 3)!n!0!
ตอบ 5
5. ถ้าจะสร้างจำนวน 5 หลัก จากเลข 1 2 4 6 8 โดยเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จะได้จำนวนที่แตกต่างกันกี่จำนวน
ตอบ 120 จำนวน
6. นักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน เข้าแถวหน้ากระดานหน้าห้องเรียน จงหาวิธีในการจัดแถวโดย
ก. เพศเดียวกันยืนติดกัน
ตอบ 2,880 วิธี
ข. ชายและหญิงสลับที่ยืนกันในแถว
ตอบ 576 วิธี
ค. ไม่มีผู้ชายสองคนใดๆยืนติดกัน
ตอบ 120 วิธี
7. การเข้าแถวหน้าเสาธงของนักเรียนห้องหนึ่งที่มีนักเรียนชาย 8 คนและนักเรียนหญิง 8 คน ให้เข้าแถว 1 แถว จงหาว่าจะมีวิธีการจัดแถวทั้งหมดกี่วิธีโดย
ก. เป็นนักเรียนชายทั้งหมดในแถว
ตอบ 40,320 วิธี
ข. เป็นนักเรียนหญิงทั้งหมดในแถว
ตอบ 40,320 วิธี
ค. นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิงในแถวครั้งละ 1 คน
ตอบ 2!8!8! วิธี
ง. นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิงในแถวครั้งละ 2 คน
ตอบ 2!8!8! วิธี
จ. นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิงในแถวครั้งละ 4 คน
ตอบ 2!8!8! วิธี
8. มีหนังสือพืชสวน 4 เล่ม หนังสือพืชไร่ 2 เล่ม และหนังสือพฤกษศาสตร์ 5 เล่ม หนังสือทุกเล่มแตกต่างกัน ถ้าต้องการจัดหนังสือเรียงบนชั้นหนังสือ จงหาว่าจะมีจำนวนวิธีในการจัดเท่าไรโดย
ก. จัดโดยให้หนังสือพืชไร่เป็นเล่มบนและเล่มล่างสุด
ตอบ 241,920 วิธี
ข. จัดโดยไม่ให้หนังสือพืชสวนติดกันทั้งหมด
ตอบ 11! – 4!8! วิธี
ค. จัดให้หนังสือที่เป็นประเภทเดียวกันวางติดกัน
ตอบ 3!4!2!7! วิธี
9. ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง มีสามีภรรยา 12 คู่ ถ้าให้คนทั้ง 12 คู่มานั่งเรียงกันบนเก้าอี้ซึ่งวางไว้เป็นแถวๆละ 8 ตัว จงหาว่าจะมีวิธีการนั่งกี่วิธี เมื่อ
ก. ผู้ชายนั่งสลับกับผู้หญิงในแถวเดียวกัน
ตอบ 3!2!12!12! วิธี
ข. สามีภรรยาต้องนั่งแถวเดียวกัน และนั่งติดกัน
ตอบ 2¹² x 12! วิธี
10. มีนักเรียน 12 คน มาเรียงยืนแถวตอนลึกจำนวน 8 คน จะมีวิธีการจัดการยืนได้กี่วิธี
ตอบ 2⁷ x 3⁴ x 5³ x 7 x 11 วิธี หรือ 19,958,400 วิธี
11. ในงานสัมมนา ณ โรงแรมแห่งหนึ่ง มีเก้าอี้สัมมนาแถวหน้าสุด 8 ตัว ต้องการให้ประธาน รองประธาน วิทยากรและผู้กล่าวรายงานนั่งบนเก้าอี้เหล่านี้คนละตัว จงหาว่าจะมีวิธีการนั่งทั้งหมดกี่วิธี โดย
ก. ไม่มีเงื่อนไขกำหนด
ตอบ 1,680 วิธี
ข. คนทั้งสี่คนนั่งติดกันและนั่งตั้งแต่เก้าอี้ตัวที่ 3 ถึง 6 จากซ้าย
ตอบ 24 วิธี
ค. ใน 4 คนนี้ไม่มีคนใดๆ นั่งติดกัน
ตอบ 24 วิธี
12. รถประจำทาง 3 คัน รถยนต์ 6 คัน ได้แล่นเข้ามาจอดในลานจอดรถที่สามารถจอดได้เพียง 6 คัน จงหาวิธีการเข้าจอดของรถ โดย
ก. รถประจำทางจอดสลับกับรถยนต์ครั้งละ 1 คัน
ตอบ 1,440 วิธี
ข. รถประจำทางจอดติดกัน
ตอบ 2,880 วิธี
ค. รถประจำทางจอดที่หัวและท้ายของลานจอดรถ
ตอบ 2,160 วิธี
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง ความน่าจะเป็น ชุดที่ 2

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น ชุดที่ 3

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 3

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 8 10 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. จงหาคำตอบของแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. P(7, 3) + C(2, 2)
ข. 6P(4, 1) – C(5, 2)
ค. C(10, 7) – 2P(8, 3)
ง. 3C(7, 1) + P(3, 0)
2. ถ้าต้องการสลับตัวอักษรในคำว่า TELECOMMUNICATION จะสลับได้ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ
ก. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิ่มเติม
ข. อักษรตัวเดียวกันอยู่ติดกัน
3. มีนักเรียน 8 คน และครู 2 คน นั่งเรียงแถวยาว จงหาวิธีการนั่งที่ครูนั่งปิดหัวและท้ายแถว
4. มีหนังสืออยู่ 10 เล่มที่แตกต่างกัน มีหนังสือภาษาไทย 4 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือเป็นแถวยาวแถวเดียวจะจัดได้กี่วิธีเมื่อ
ก. ให้หนังสือภาษาไทยแยกไปอยู่หัวและท้ายตำแหน่งละ 2 เล่ม
ข. ให้หนังสือภาษาไทยอยู่ติดกัน 4 เล่มไม่ได้
5. ต้องการจัดสรรคนงาน 8 คนเข้าทำงานใน 3 สายงาน สายงานก่อสร้างต้องการคนงาน 4 คน สายงานบรรทุกต้องการคนงาน 2 คนและสายงานควบคุมต้องการคนงาน 2 คน จงหาว่าจะมีวิธีในการบรรจุคนงานทั้ง 8 คนนี้กี่วิธี
6. ถ้าต้องการจัดเลข 4 ตัวจาก 0 1 2 1 3 2 4 5 6 2 1 3 มาจัดเป็นจำนวนเต็มบวก 4 หลัก จะสามารถสร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน
7. มีลูกบอลสีขาวเหมือนกัน 3 ลูก ลูกบอลสีเขียวเหมือนกัน 4 ลูก และลูกบอลสีดำเหมือนกัน 6 ลูก ต้องการนำมาใส่กล่องๆละ 1 ลูกที่เรียงเป็นแถวยาวทั้ง 13 ลูก จะมีวิธีการจัดใส่ทั้งหมดกี่วิธีเมื่อ
ก. ให้กล่องที่บรรจุลูกบอลสีเดียวกันวางติดกัน
ข. ให้กล่องที่อยู่ริมสองด้านเป็นกล่องที่บรรจุลูกบอลสีเดียวกัน
8. นักท่องเที่ยวกลุ่มหนึ่ง จำนวน 11 คน มีผู้ชาย 4 คน ให้นักท่องเที่ยวกลุ่มนี้เข้าพักในบ้านพักตากอากาศหลังหนึ่ง มีห้องนอน 4 ห้อง นอนได้ห้องละ 3 , 3 , 3 และ 2 คนตามลำดับ จงหาวิธีในการแบ่งคนเข้าห้องพักดังกล่าวโดย
ก. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
ข. ทุกห้องต้องมีผู้ชายอยู่อย่างน้อยห้องละ 1 คน

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง ความน่าจะเป็น ชุดที่ 1 (8 เม.ย. 2559)
1. กำหนด A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c} จงหาจำนวนวิธีสร้างคู่อันดับ (x, y) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดตามเงื่อนไขดังนี้
ก. x อยู่ใน A และ y อยู่ใน B
ตอบ 15 คู่อันดับ
ข. x และ y อยู่ใน A โดยไม่ซ้ำเลขกัน
ตอบ 20 คู่อันดับ
2. เด็กชายคนหนึ่งต้องการขึ้นลิฟต์ไปบนตึก 40 ชั้น โดยมีลิฟต์ทั้งหมด 7 ตัว จงหาวิธีที่
ก. เด็กชายเลือกลิฟต์เพื่อขึ้นและลงโดยใช้ลิฟต์ตัวเดียวกัน
ตอบ 7 วิธี
ข. เด็กชายเลือกลิฟต์เพื่อขึ้นและลงโดยใช้ลิฟต์ตัวต่างกัน
ตอบ 42 วิธี
3. จงหาว่าหมายเลขโทรศัพท์บ้าน 9 หลักที่ขึ้นต้นด้วย 02 มีทั้งหมดกี่หมายเลข
ตอบ 10⁷ หมายเลข
4. ห้องเรียนโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีประตู 2 ประตู หน้าต่าง 7 บาน ถ้ามีหนูอยู่ 1 ตัวต้องการวิ่งเข้าออกในห้องเรียนโดยเข้าทางประตูแล้วออกทางหน้าต่าง และกลับเข้ามาทางหน้าต่างแล้วออกทางประตู โดยเลือกไม่ซ้ำกันจะมีวิธีในการเลือกเส้นทางเข้าออกเท่าไร
ตอบ 84 วิธี
5. โยนลูกเต๋า 3 ลูกที่มีลักษณะและขนาดเท่ากันทุกประการ จงหา
ก. วิธีที่ลูกเต๋า 3 ลูก ทุกลูกออกหน้าเลขคี่
ตอบ 27 วิธี
ข. วิธีที่ลูกเต๋า 3 ลูก ออกหน้าแล้วผลรวมรวมกันเท่ากับ 10
ตอบ 27 วิธี
ค. วิธีที่ลูกเต๋า 3 ลูก ออกหน้าแล้วไม่มีลูกใดออกหน้าเลข 4
ตอบ 75 วิธี
6. ในการเลือกกรรมการหมู่บ้าน ที่มีสมาชิกเป็นชาย 7 คนและหญิง 4 คน เลือกในตำแหน่งประธาน รองประธาน และเลขานุการ จงหาวิธีที่จะได้ประธาน รองประธานเป็นชายและหญิง และเลขานุการเป็นเพศใดก็ได้ตามลำดับ
ตอบ 252 วิธี
7. ถ้าต้องการสร้างจำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบสองตำแหน่งและมีหลักจำนวนเต็มสองหลัก โดยใช้เลขโดด
ก. วิธีที่สร้างจำนวนทศนิยมโดยเลขไม่ซ้ำกันในทุกหลักเป็นเท่าใด
ตอบ 4,536 วิธี
ข. วิธีที่สร้างจำนวนทศนิยมโดยเลขไม่ซ้ำกันในทุกหลักตำแหน่งของทศนิยมเป็นเท่าใด
ตอบ 8,100 วิธี
ค. วิธีที่สร้างจำนวนทศนิยมโดยเลขไม่ซ้ำกันในทุกหลักตำแหน่งของทศนิยมมากกว่าหรือน้อยกว่าวิธีที่สร้างทศนิยมโดยเลขมากกว่า 6 ในทุกหลักของจำนวนทศนิยมเป็นเท่าใด
ตอบ 8,019 วิธี
8. ข้อสอบชุดหนึ่งมีสามตอน
- ตอนที่ 1 เป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือก เลือก 1 ตัวเลือก จำนวน 4 ข้อ
- ตอนที่ 2 เป็นแบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 ตัวเลือก จำนวน 2 ข้อ
- ตอนที่ 3 เป็นแบบปรนัย 6 ตัวเลือก เลือก 2 ตัวเลือก จำนวน 3 ข้อ
จงหาวิธีในการตอบข้อสอบชุดนี้ทั้งหมด
ตอบ 172,800,000 วิธี
9. จงหาว่าจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่หาร 150,000,000 ลงตัว มากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่หาร 243,500,000 ลงตัว
ตอบ มากกว่าอยู่ 60 จำนวน
10. ถ้าต้องการสร้างจำนวน 6 หลัก โดยใช้ 0, 1, 2, 4, 6, 8, 9 จงหาวิธีที่สร้างจำนวนในเงื่อนไข
ก. เป็นจำนวนคู่ และแต่ละหลักใช้เลขซ้ำกันได้
ตอบ 72,030 วิธี
ข. เป็นจำนวนที่ไม่ได้เกิดจากเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะสร้าง และแต่ละหลักใช้เลขซ้ำกันได้
ตอบ 38,880 วิธี
ค. เป็นจำนวนที่ไม่ลงท้ายด้วยเลข 0
ตอบ 86,436 วิธี
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง ความน่าจะเป็น ชุดที่ 1

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น ชุดที่ 2

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 2

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องแคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 7 15 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. จงหาคำตอบของแต่ละข้อต่อไปนี้
ก. 4!3!
ข. 5!0!
ค. (7!2!)(3!)^-1
ง. (10!6!)(5!7!)^-1
จ. 9!(2!2!3!)^-1
ฉ. 40(2!3!)^-1
2. จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ในรูปของ Factorial
ก. 30 x 29 x 28 x 27
ข. (n + 1)(n)(n – 1)…(n – 8)(n – 9)
ค. 4n² – 2n
3. จงหาค่าของ n จากสมการ 4(n – 1)!(n – 3)! = 6(n – 2)!n!
4. จงหาค่าของ n จากสมการ 3(n + 1)!(n – 4)! = 9(n – 3)!n!0!
5. ถ้าจะสร้างจำนวน 5 หลัก จากเลข 1 2 4 6 8 โดยเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จะได้จำนวนที่แตกต่างกันกี่จำนวน
6. นักเรียนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน เข้าแถวหน้ากระดานหน้าห้องเรียน จงหาวิธีในการจัดแถวโดย
ก. เพศเดียวกันยืนติดกัน
ข. ชายและหญิงสลับที่ยืนกันในแถว
ค. ไม่มีผู้ชายสองคนใดๆยืนติดกัน
7. การเข้าแถวหน้าเสาธงของนักเรียนห้องหนึ่งที่มีนักเรียนชาย 8 คนและนักเรียนหญิง 8 คน ให้เข้าแถว 1 แถว จงหาว่าจะมีวิธีการจัดแถวทั้งหมดกี่วิธีโดย
ก. เป็นนักเรียนชายทั้งหมดในแถว
ข. เป็นนักเรียนหญิงทั้งหมดในแถว
ค. นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิงในแถวครั้งละ 1 คน
ง. นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิงในแถวครั้งละ 2 คน
จ. นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรียนหญิงในแถวครั้งละ 4 คน
8. มีหนังสือพืชสวน 4 เล่ม หนังสือพืชไร่ 2 เล่ม และหนังสือพฤกษศาสตร์ 5 เล่ม หนังสือทุกเล่มแตกต่างกัน ถ้าต้องการจัดหนังสือเรียงบนชั้นหนังสือ จงหาว่าจะมีจำนวนวิธีในการจัดเท่าไรโดย
ก. จัดโดยให้หนังสือพืชไร่เป็นเล่มบนและเล่มล่างสุด
ข. จัดโดยไม่ให้หนังสือพืชสวนติดกันทั้งหมด
ค. จัดให้หนังสือที่เป็นประเภทเดียวกันวางติดกัน
9. ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ง มีสามีภรรยา 12 คู่ ถ้าให้คนทั้ง 12 คู่มานั่งเรียงกันบนเก้าอี้ซึ่งวางไว้เป็นแถวๆละ 8 ตัว จงหาว่าจะมีวิธีการนั่งกี่วิธี เมื่อ
ก. ผู้ชายนั่งสลับกับผู้หญิงในแถวเดียวกัน
ข. สามีภรรยาต้องนั่งแถวเดียวกัน และนั่งติดกัน
10. มีนักเรียน 12 คน มาเรียงยืนแถวตอนลึกจำนวน 8 คน จะมีวิธีการจัดการยืนได้กี่วิธี
11. ในงานสัมมนา ณ โรงแรมแห่งหนึ่ง มีเก้าอี้สัมมนาแถวหน้าสุด 8 ตัว ต้องการให้ประธาน รองประธาน วิทยากรและผู้กล่าวรายงานนั่งบนเก้าอี้เหล่านี้คนละตัว จงหาว่าจะมีวิธีการนั่งทั้งหมดกี่วิธี โดย
ก. ไม่มีเงื่อนไขกำหนด
ข. คนทั้งสี่คนนั่งติดกันและนั่งตั้งแต่เก้าอี้ตัวที่ 3 ถึง 6 จากซ้าย
ค. ใน 4 คนนี้ไม่มีคนใดๆ นั่งติดกัน
12. รถประจำทาง 3 คัน รถยนต์ 6 คัน ได้แล่นเข้ามาจอดในลานจอดรถที่สามารถจอดได้เพียง 6 คัน จงหาวิธีการเข้าจอดของรถ โดย
ก. รถประจำทางจอดสลับกับรถยนต์ครั้งละ 1 คัน
ข. รถประจำทางจอดติดกัน
ค. รถประจำทางจอดที่หัวและท้ายของลานจอดรถ


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 6 (3 เม.ย. 2559)
1. กำหนดให้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นเส้นตรง

x	3	4	6	7	9	11	13	14
y	1	3	4	6	7	10	14	15

จงหาค่าของ y เมื่อ x = 12.2 (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ตอบ 12.26
2. ให้ x เป็นรายได้ที่ได้ในแต่ละเดือน, y เป็นเงินออมที่แต่ละเดือนต้องเก็บไว้ และ N แทนจำนวนเดือน
จากการเก็บข้อมูลรายได้ของนายปฐมพบว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y เป็นเส้นตรง และได้ข้อมูลดังนี้
åx = 42000, åy = 30000, åxy = 120000, åN = 3, åx² = 1000000 และ åy² = 250000
จงหาว่าเมื่อครบเวลา 12 เดือน นายปฐมจะมีรายได้รวม 3.8 ล้านบาท จงทำนายเงินออมทั้งหมดของเขา
ตอบ เมื่อครบเวลา 12 เดือน นายปฐมจะมีเงินออมทั้งหมด 2,716,990 บาท
3. จากการศึกษาความสัมพันธ์ของการออกดอกของต้นไม้ชนิดหนึ่ง ในระยะ 7 วันที่ผ่านมา

ระยะเวลา : วัน (x)	1	2	3	4	5	6	7
จำนวนดอก (y)	1	3	5	7	8	10	12

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง จงหาว่าต้นไม้ต้นนี้จะออกดอกครบ 20 ดอกเมื่อผ่านไปกี่วัน (ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
ตอบ ต้นไม้ต้นนี้จะออกดอกครบ 20 ดอกเมื่อผ่านไป 12 วัน
4. การใช้สารกัมมันตภาพรังสีชนิดหนึ่งในการผลิตกระแสไฟฟ้า เมื่อใส่สารเข้าไปแล้ว จะมีปริมาณลดลงดังตาราง

เวลา : นาที (x)	1	2	4	5	6	8
ปริมาณสาร (y) (g.)	10	8	6	5	3	1

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเอกซ์โพแนนเชียล จงหาว่า
ก. ในเวลาเท่าใด ที่ปริมาณสารเหลือ 1% ของปริมาณเริ่มต้น (ให้ปริมาณเริ่มต้นเท่ากับ 10.5 กรัม)
ตอบ ผ่านไป 9 นาที 57.18 วินาที
ข. สมการของความสัมพันธ์เมื่อ x เป็นตัวแปรตาม คืออะไร
ตอบ สมการความสัมพันธ์นี้ คือ x = (10.15)(0.83)^y
5. กำหนดให้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นเส้นตรง

x	11	9	8	6	3
y	15	20	24	26	33

ก. จงทำนายค่าของ x เมื่อ y = 40 (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ตอบ -0.02
ข. จากสมการความสัมพันธ์ทั่วไปของข้อมูลที่เป็นความสัมพันธ์เป็นเส้นตรง y = ax + b จงหาค่า ab
ตอบ -86.655
6. ข้อมูลเงินฝากประจำ 5 ปีของบังอรเป็นดังนี้

เวลา (พ.ศ.)	2543	2544	2545	2546	2547
เงินออมที่ฝาก (พันบาท)	3	5	8	10	13

จากข้อมูลพบว่าในปีพ.ศ. 2520 มีรายได้ 2 ล้านบาท และปีพ.ศ. 2555 มีรายได้ 18 ล้านบาท ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง
ก. มิถุนายน 2545 จะมีการออมเงินในบัญชีได้เท่าไร (ให้ปีที่ปรากฏในตารางหมายถึงเดือนม.ค.ของปีนั้น)
ตอบ มิถุนายน 2545 จะมีการออมเงินในบัญชีได้ 5,950.26 บาท
ข. จงหาค่า ab^-1 เมื่อสมการความสัมพันธ์นี้ คือ y = ax – b
ตอบ -2.89
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 6

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น ชุดที่ 1

คณิตศาสตร์ - ความน่าจะเป็น
แบบฝึกหัด ชุดที่ 1

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องความน่าจะเป็น ชุดที่ 3 10 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. กำหนด A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c} จงหาจำนวนวิธีสร้างคู่อันดับ (x, y) ที่เป็นไปได้ทั้งหมดตามเงื่อนไขดังนี้
ก. x อยู่ใน A และ y อยู่ใน B
ข. x และ y อยู่ใน A โดยไม่ซ้ำเลขกัน
2. เด็กชายคนหนึ่งต้องการขึ้นลิฟต์ไปบนตึก 40 ชั้น โดยมีลิฟต์ทั้งหมด 7 ตัว จงหาวิธีที่
ก. เด็กชายเลือกลิฟต์เพื่อขึ้นและลงโดยใช้ลิฟต์ตัวเดียวกัน
ข. เด็กชายเลือกลิฟต์เพื่อขึ้นและลงโดยใช้ลิฟต์ตัวต่างกัน
3. จงหาว่าหมายเลขโทรศัพท์บ้าน 9 หลักที่ขึ้นต้นด้วย 02 มีทั้งหมดกี่หมายเลข
4. ห้องเรียนโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีประตู 2 ประตู หน้าต่าง 7 บาน ถ้ามีหนูอยู่ 1 ตัวต้องการวิ่งเข้าออกในห้องเรียนโดยเข้าทางประตูแล้วออกทางหน้าต่าง และกลับเข้ามาทางหน้าต่างแล้วออกทางประตู โดยเลือกไม่ซ้ำกันจะมีวิธีในการเลือกเส้นทางเข้าออกเท่าไร
5. โยนลูกเต๋า 3 ลูกที่มีลักษณะและขนาดเท่ากันทุกประการ จงหา
ก. วิธีที่ลูกเต๋า 3 ลูก ทุกลูกออกหน้าเลขคี่
ข. วิธีที่ลูกเต๋า 3 ลูก ออกหน้าแล้วผลรวมรวมกันเท่ากับ 10
ค. วิธีที่ลูกเต๋า 3 ลูก ออกหน้าแล้วไม่มีลูกใดออกหน้าเลข 4
6. ในการเลือกกรรมการหมู่บ้าน ที่มีสมาชิกเป็นชาย 7 คนและหญิง 4 คน เลือกในตำแหน่งประธาน รองประธาน และเลขานุการ จงหาวิธีที่จะได้ประธาน รองประธานเป็นชายและหญิง และเลขานุการเป็นเพศใดก็ได้ตามลำดับ
7. ถ้าต้องการสร้างจำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบสองตำแหน่งและมีหลักจำนวนเต็มสองหลัก โดยใช้เลขโดด
ก. วิธีที่สร้างจำนวนทศนิยมโดยเลขไม่ซ้ำกันในทุกหลักเป็นเท่าใด
ข. วิธีที่สร้างจำนวนทศนิยมโดยเลขไม่ซ้ำกันในทุกหลักตำแหน่งของทศนิยมเป็นเท่าใด
ค. วิธีที่สร้างจำนวนทศนิยมโดยเลขไม่ซ้ำกันในทุกหลักตำแหน่งของทศนิยมมากกว่าหรือน้อยกว่าวิธีที่สร้างทศนิยมโดยเลขมากกว่า 6 ในทุกหลักของจำนวนทศนิยมเป็นเท่าใด
8. ข้อสอบชุดหนึ่งมีสามตอน
- ตอนที่ 1 เป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือก เลือก 1 ตัวเลือก จำนวน 4 ข้อ
- ตอนที่ 2 เป็นแบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก 1 ตัวเลือก จำนวน 2 ข้อ
- ตอนที่ 3 เป็นแบบปรนัย 6 ตัวเลือก เลือก 2 ตัวเลือก จำนวน 3 ข้อ
จงหาวิธีในการตอบข้อสอบชุดนี้ทั้งหมด
9. จงหาว่าจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่หาร 150,000,000 ลงตัว มากกว่าหรือน้อยกว่าจำนวนของจำนวนเต็มบวกที่หาร 243,500,000 ลงตัว
10. ถ้าต้องการสร้างจำนวน 6 หลัก โดยใช้ 0, 1, 2, 4, 6, 8, 9 จงหาวิธีที่สร้างจำนวนในเงื่อนไข
ก. เป็นจำนวนคู่ และแต่ละหลักใช้เลขซ้ำกันได้
ข. เป็นจำนวนที่ไม่ได้เกิดจากเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะสร้าง และแต่ละหลักใช้เลขซ้ำกันได้
ค. เป็นจำนวนที่ไม่ลงท้ายด้วยเลข 0

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 5 (2 เม.ย. 2559)
1. กำหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ A ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้

z	0.50	0.60	0.70	0.80	0.90
A	0.1915	0.2257	0.2580	0.2881	0.3159

การแจกแจงความสูงของนักเรียนในห้องหนึ่ง พบว่ามีนักเรียนที่สูงต่ำกว่า 164 เซนติเมตรอยู่ 18.41% และมีนักเรียนที่สูงต่ำกว่ามัธยฐาน แต่มากกว่า 136 เซนติเมตรอยู่ 28.81% จงหาว่าอัตราส่วนความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนห้องนี้ต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักเรียนห้องนี้เป็นเท่าไร
ตอบ อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตของนักเรียนห้องนี้ เท่ากับ 271.2806 : 149.1765
2. ในการสอบไล่ปลายภาคเรียนหนึ่งของนักเรียนห้อง ม.6/1 มีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.3 ถ้านาย ก สอบได้คะแนน 74 คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3.1 และนางสาว ข สอบได้คะแนน 45 คะแนน จงหาว่านางสาว ข สอบได้คะแนนมาตรฐานเท่าไร และสอบผ่านหรือไม่ (เกณฑ์ผ่านอยู่ที่เครื่องหมายของคะแนนมาตรฐาน ถ้าเป็นบวกถือว่าผ่าน ถ้าเป็นลบถือว่าตก)
ตอบ นางสาว ข สอบได้คะแนนค่ามาตรฐาน 0.58 (สอบผ่าน เพราะค่า z เป็นบวก)
3. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้นอนุบาล จำนวน 80 คน มีการแจกแจงปกติของอายุของนักเรียน มีความแปรปรวนเท่ากับ 2.25 มีนักเรียนจำนวน 67.72% ที่อายุไม่เกิน 8 ปี จงหาว่ามีนักเรียนจำนวนกี่คนที่มีอายุมากกว่า 4 ปี (กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติ จาก z = 0 ถึง z = 0.46 เท่ากับ 0.1772, จาก z = 0 ถึง z = 2.21 เท่ากับ 0.4864)
ตอบ นักเรียนที่มีอายุมากกว่า 4 ปี 79 คน
4. เมื่อมีการเก็บข้อมูลรายได้ของประชากรในหมู่บ้านแห่งหนึ่ง ได้ข้อมูลว่ามีฐานนิยมเท่ากับ 2,000 บาทและความแปรปรวนเท่ากับ 49 จงหาว่าจะมีจำนวนคนเท่าไรในจำนวนคน 145,220 คนของหมู่บ้านแห่งนี้ โดยมีรายได้มากกว่าค่าคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3.2 (กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติ จาก z = 0 ถึง z = 3.2 เท่ากับ 0.4993)
ตอบ หมู่บ้านนี้มีรายได้มากกว่าค่ามาตรฐาน z = 3.2 จำนวน 102 คน
5. ในการสอบครั้งหนึ่ง มีผู้เข้าสอบจำนวนหนึ่งซึ่งมีไก่และเป็ดรวมอยู่ด้วย โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 67.2 คะแนน และมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.625 ไก่สอบได้ 58 คะแนน ซึ่งน้อยกว่าเป็ด และผลต่างของค่าคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 0.2 จงหาว่าผลบวกระหว่างคะแนนของเป็ดและคะแนนมาตรฐานของไก่เป็นเท่าไร
ตอบ ผลบวกระหว่างคะแนนของเป็ดและคะแนนมาตรฐานของไก่ เท่ากับ 66.181
6. กำหนดพื้นที่ใต้โค้งมาตรฐานทางขวามือ z = 0.7 เท่ากับ 0.258 และ z = 1.4 เท่ากับ 0.4192
ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยที่ Percentile ที่ 75.8 เท่ากับ 40 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.15 จงหาว่า
ก. ที่ z = 1.4 ข้อมูลเท่ากับเท่าไร
ตอบ ที่ z = 1.4 ข้อมูลคือ 54.07
ข. ถ้าข้อมูลชุดนี้มี 380 ข้อมูล จะมีข้อมูลเท่าใดในช่วง z = 0.7 ถึง z = 1.4
ตอบ ข้อมูลในช่วง z = 0.7 ถึง z = 1.4 มีจำนวนทั้งหมด 61 ข้อมูล
7. ให้สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของชุดข้อมูลหนึ่งเท่ากับ 36% และความแปรผันเท่ากับ 144 กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 1.24 เท่ากับ 0.3925 และ z = 0 ถึง z = 2 เท่ากับ 0.4773 จงหาช่วงของข้อมูลที่มีคะแนนมาตรฐานอยู่ระหว่าง z = -2 ถึง z = 1.24
ตอบ ช่วงของข้อมูลที่มีคะแนนมาตรฐานอยู่ระหว่าง z = -2 ถึง z = 1.24 คือ (9.33, 48.21)
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 5

คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 6

คณิตศาสตร์ - สถิติ
แบบฝึกหัด ชุดที่ 6

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องความน่าจะเป็น ชุดที่ 2 9 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที

1. กำหนดให้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นเส้นตรง

x	3	4	6	7	9	11	13	14
y	1	3	4	6	7	10	14	15

จงหาค่าของ y เมื่อ x = 12.2 (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
2. ให้ x เป็นรายได้ที่ได้ในแต่ละเดือน, y เป็นเงินออมที่แต่ละเดือนต้องเก็บไว้ และ N แทนจำนวนเดือน
จากการเก็บข้อมูลรายได้ของนายปฐมพบว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่าง x และ y เป็นเส้นตรง และได้ข้อมูลดังนี้
åx = 42000, åy = 30000, åxy = 120000, åN = 3, åx² = 1000000 และ åy² = 250000
จงหาว่าเมื่อครบเวลา 12 เดือน นายปฐมจะมีรายได้รวม 3.8 ล้านบาท จงทำนายเงินออมทั้งหมดของเขา
3. จากการศึกษาความสัมพันธ์ของการออกดอกของต้นไม้ชนิดหนึ่ง ในระยะ 7 วันที่ผ่านมา

ระยะเวลา : วัน (x)	1	2	3	4	5	6	7
จำนวนดอก (y)	1	3	5	7	8	10	12

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง จงหาว่าต้นไม้ต้นนี้จะออกดอกครบ 20 ดอกเมื่อผ่านไปกี่วัน (ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
4. การใช้สารกัมมันตภาพรังสีชนิดหนึ่งในการผลิตกระแสไฟฟ้า เมื่อใส่สารเข้าไปแล้ว จะมีปริมาณลดลงดังตาราง

เวลา : นาที (x)	1	2	4	5	6	8
ปริมาณสาร (y) (g.)	10	8	6	5	3	1

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเอกซ์โพแนนเชียล จงหาว่า
ก. ในเวลาเท่าใด ที่ปริมาณสารเหลือ 1% ของปริมาณเริ่มต้น (ให้ปริมาณเริ่มต้นเท่ากับ 10.5 กรัม)
ข. สมการของความสัมพันธ์เมื่อ x เป็นตัวแปรตาม คืออะไร
5. กำหนดให้ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นเส้นตรง

x	11	9	8	6	3
y	15	20	24	26	33

ก. จงทำนายค่าของ x เมื่อ y = 40 (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ข. จากสมการความสัมพันธ์ทั่วไปของข้อมูลที่เป็นความสัมพันธ์เป็นเส้นตรง y = ax + b จงหาค่า ab
6. ข้อมูลเงินฝากประจำ 5 ปีของบังอรเป็นดังนี้

เวลา (พ.ศ.)	2543	2544	2545	2546	2547
เงินออมที่ฝาก (พันบาท)	3	5	8	10	13

จากข้อมูลพบว่าในปีพ.ศ. 2520 มีรายได้ 2 ล้านบาท และปีพ.ศ. 2555 มีรายได้ 18 ล้านบาท ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง
ก. มิถุนายน 2545 จะมีการออมเงินในบัญชีได้เท่าไร (ให้ปีที่ปรากฏในตารางหมายถึงเดือนม.ค.ของปีนั้น)
ข. จงหาค่า ab^-1 เมื่อสมการความสัมพันธ์นี้ คือ y = ax – b

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 4 (1 เม.ย. 2559)
1. กำหนดข้อมูล 2 ชุดดังนี้
A : 10, 20, 30, 40, 50, 60 B : 4, 8, 12, 16, 20, 24
ก. จงหาว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล A มากกว่าชุดข้อมูล B หรือไม่
ตอบ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล A มากกว่าชุดข้อมูล B
ข. จากข้อมูล a₂ = b₅ จงหาว่า b₆ อยู่ใน Percentile ที่เท่าใดของชุดข้อมูล A
ตอบ b₆ อยู่ใน Percentile ที่ 34.29 ของชุดข้อมูล A
ค. อัตราส่วนระหว่างสัมประสิทธิ์ของการแปรผันของชุดข้อมูล A กับชุดข้อมูล B เป็นเท่าไร
ตอบ C.V._A : C.V._B เท่ากับ 1
2. กำหนดข้อมูลดังตารางต่อไปนี้

ข้อมูล	ความถี่
10 - 12	5
13 - 15	7
16 - 18	10
19 - 21	9
22 - 24	b

กำหนดให้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 17.75 จงหา
ก. ความถี่สะสมสัมพัทธ์ ณ อันตรภาคชั้นที่ 3
ตอบ ความถี่สะสมสัมพัทธ์ ณ อันตรภาคชั้นที่ 3 เท่ากับ 0.550
ข. Percentile ที่ 42 + Quartile ที่ 3
ตอบ Percentile ที่ 42 + Quartile ที่ 3 เท่ากับ 16.94 + 21.17 = 38.11
ค. ฐานนิยมของข้อมูลนี้
ตอบ ฐานนิยมของข้อมูลนี้ เท่ากับ 17.75
3. กำหนดข้อมูลอายุของประชากรในหมู่บ้านแห่งหนึ่งดังตารางต่อไปนี้

อายุ	ความถี่สะสมสัมพัทธ์
21 - 25	0.200
26 - 30	0.375
31 - 35	0.500
36 - 40	0.625
41 - 45	1.000

จงหาว่าถ้าประชากรในหมู่บ้านแห่งนี้เท่ากับ 12,000 คน ฐานนิยมของอายุของประชากรในหมู่บ้านเป็นเท่าไร
ตอบ ฐานนิยมของอายุของประชากรในหมู่บ้านนี้ เท่ากับ 43.83 ปี
4. จากข้อมูล x1, x2, …, x9, x10 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 7 หากข้อมูลนี้ทั้งชุดนำไปบวกด้วย 7 แล้วคูณด้วย 4 จงหาผลคูณของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่ที่ผ่านการดำเนินการแล้ว
ตอบ ผลคูณของค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหม่เท่ากับ 728
5. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งมีการแจกแจงดังนี้

คะแนน	จำนวนนักเรียน
21 - 30	2
31 - 40	8
41 - 50	12
51 - 60	16
61 - 70	8
71 - 80	4
81 - 90	2

นางสาว ง และนาย ฮ เป็นนักเรียนในกลุ่มนี้ นางสาว ง สอบได้คะแนนเดไซล์ที่ 4.2 ส่วนนาย ฮ สอบได้คะแนนเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 71 จงตอบคำถามต่อไปนี้
ก. หากในรายวิชานี้ ตัดเกณฑ์สอบผ่าน-สอบตกที่ 35 คะแนน นางสาว ง และนาย ฮ จะสอบผ่านหรือไม่
ตอบ ทั้งนางสาว ง และนาย ฮ จะสอบผ่าน
ข. ส่วนต่างของคะแนนทั้งสองคน เป็นเท่าใด
ตอบ ส่วนต่างของคะแนนทั้งสองคน เท่ากับ 67 – 55.125 = 11.875 คะแนน
ค. นางสาว ง มีคะแนนสูงกว่าหรือต่ำกว่าฐานนิยมอยู่เท่าไร
ตอบ นางสาว ง มีคะแนนสูงกว่าฐานนิยมอยู่ 67 – 62.17 = 4.83 คะแนน
6. ข้อมูล 2 กลุ่ม สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต และความแปรปรวนได้ดังนี้
- ข้อมูลกลุ่มที่ 1 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 8 ความแปรปรวนเท่ากับ 4 ในจำนวนข้อมูล 30 จำนวน
- ข้อมูลกลุ่มที่ 2 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ x ความแปรปรวนเท่ากับ y ในจำนวนข้อมูล 20 จำนวน
ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตรวม เท่ากับ 9 และความแปรปรวนรวม เท่ากับ 6 จงหาค่า (x + y)(x – y)
ตอบ (x + y)(x – y) = 29.25
7. “11 15 16 19 21 23 25 32 40 45 51 53 54 56 59 62 63 65 67 69 72 76 80 82 84 86 104”
จงหา
ก. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
ตอบ ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เท่ากับ 23.5
ข. Percentile ที่ 33.33
ตอบ Percentile ที่ 33.33 เท่ากับ 41.662
ค. สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน
ตอบ สัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เท่ากับ 0.4746
ง. อัตราส่วนระหว่างสัมประสิทธิ์ของพิสัยและมัธยฐานของข้อมูลนี้
ตอบ อัตราส่วนระหว่างสัมประสิทธิ์ของพิสัยและมัธยฐานของข้อมูลนี้ เท่ากับ 0.0144

วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 4

คณิตศาสตร์ - สถิติ ชุดที่ 5

คณิตศาสตร์ - สถิติ
แบบฝึกหัด ชุดที่ 5

จงหาคำตอบจากโจทย์ (เฉลยในท้ายแบบฝึกหัดเรื่องความน่าจะเป็น ชุดที่ 1 8 เม.ย. 2559) หากมีข้อทักท้วง ข้อเสนอแนะ ใส่มาด้านล่าง post นี้ได้ทันที
1. กำหนดให้ตารางแสดงพื้นที่ A ใต้เส้นโค้งปกติดังนี้

z	0.50	0.60	0.70	0.80	0.90
A	0.1915	0.2257	0.2580	0.2881	0.3159

การแจกแจงความสูงของนักเรียนในห้องหนึ่ง พบว่ามีนักเรียนที่สูงต่ำกว่า 164 เซนติเมตรอยู่ 18.41% และมีนักเรียนที่สูงต่ำกว่ามัธยฐาน แต่มากกว่า 136 เซนติเมตรอยู่ 28.81% จงหาว่าอัตราส่วนความแปรปรวนของความสูงของนักเรียนห้องนี้ต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักเรียนห้องนี้เป็นเท่าไร
2. ในการสอบไล่ปลายภาคเรียนหนึ่งของนักเรียนห้อง ม.6/1 มีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.3 ถ้านาย ก สอบได้คะแนน 74 คะแนน คิดเป็นคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3.1 และนางสาว ข สอบได้คะแนน 45 คะแนน จงหาว่านางสาว ข สอบได้คะแนนมาตรฐานเท่าไร และสอบผ่านหรือไม่ (เกณฑ์ผ่านอยู่ที่เครื่องหมายของคะแนนมาตรฐาน ถ้าเป็นบวกถือว่าผ่าน ถ้าเป็นลบถือว่าตก)
3. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชั้นอนุบาล จำนวน 80 คน มีการแจกแจงปกติของอายุของนักเรียน มีความแปรปรวนเท่ากับ 2.25 มีนักเรียนจำนวน 67.72% ที่อายุไม่เกิน 8 ปี จงหาว่ามีนักเรียนจำนวนกี่คนที่มีอายุมากกว่า 4 ปี (กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติ จาก z = 0 ถึง z = 0.46 เท่ากับ 0.1772, จาก z = 0 ถึง z = 2.21 เท่ากับ 0.4864)
4. เมื่อมีการเก็บข้อมูลรายได้ของประชากรในหมู่บ้านแห่งหนึ่ง ได้ข้อมูลว่ามีฐานนิยมเท่ากับ 2,000 บาทและความแปรปรวนเท่ากับ 49 จงหาว่าจะมีจำนวนคนเท่าไรในจำนวนคน 145,220 คนของหมู่บ้านแห่งนี้ โดยมีรายได้มากกว่าค่าคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 3.2 (กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติ จาก z = 0 ถึง z = 3.2 เท่ากับ 0.4993)
5. ในการสอบครั้งหนึ่ง มีผู้เข้าสอบจำนวนหนึ่งซึ่งมีไก่และเป็ดรวมอยู่ด้วย โดยที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 67.2 คะแนน และมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.625 ไก่สอบได้ 58 คะแนน ซึ่งน้อยกว่าเป็ด และผลต่างของค่าคะแนนมาตรฐานเท่ากับ 0.2 จงหาว่าผลบวกระหว่างคะแนนของเป็ดและคะแนนมาตรฐานของไก่เป็นเท่าไร
6. กำหนดพื้นที่ใต้โค้งมาตรฐานทางขวามือ z = 0.7 เท่ากับ 0.258 และ z = 1.4 เท่ากับ 0.4192
ข้อมูลชุดหนึ่งมีการแจกแจงปกติโดยที่ Percentile ที่ 75.8 เท่ากับ 40 และสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเท่ากับ 0.15 จงหาว่า
ก. ที่ z = 1.4 ข้อมูลเท่ากับเท่าไร
ข. ถ้าข้อมูลชุดนี้มี 380 ข้อมูล จะมีข้อมูลเท่าใดในช่วง z = 0.7 ถึง z = 1.4
7. ให้สัมประสิทธิ์ของการแปรผันของชุดข้อมูลหนึ่งเท่ากับ 36% และความแปรผันเท่ากับ 144 กำหนดให้พื้นที่ใต้โค้งปกติระหว่าง z = 0 ถึง z = 1.24 เท่ากับ 0.3925 และ z = 0 ถึง z = 2 เท่ากับ 0.4773 จงหาช่วงของข้อมูลที่มีคะแนนมาตรฐานอยู่ระหว่าง z = -2 ถึง z = 1.24
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สถิติ ชุดที่ 3 (27 มี.ค. 2559)
1. จากการสำรวจการใช้น้ำในหมู่บ้านแห่งหนึ่งในรอบ 5 ปีที่ผ่านมาเป็นดังนี้

ปีพ.ศ.	2554	2555	2556	2557	2558
ปริมาณน้ำ (พันลบ.ม.)	3	4	5	7	9

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง จงทำนายว่าในปีพ.ศ. 2559 หมู่บ้านแห่งนี้จะมีการใช้น้ำจำนวนกี่ลูกบาศก์เมตร (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ตอบ ปี พ.ศ.2559 จะมีการใช้น้ำจำนวน 10,100 ลูกบาศก์เมตร
2. จากสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิต จงหาว่ากำไรเฉลี่ยของการขายโหระพาในแผงลอยแห่งหนึ่ง ในระยะ 7 วันหลังสุดเป็นเท่าไร กำหนดให้ราคาทุน (x) ดังนี้ 13 16 14 15 12 10 และ 17 บาท และความสัมพันธ์ระหว่างกำไร (y) และราคาทุน (x) ของโหระพา เป็น y = 8.5 + 0.45x บาท (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ตอบ กำไรเฉลี่ยของการขายโหระพาในแผงลอยแห่งหนึ่ง ในระยะ 7 วันหลังสุด เท่ากับ 14.74 บาท
3. จากการศึกษาความสัมพันธ์ของการเจริญเติบโตของต้นไม้ชนิดหนึ่ง ในระยะ 6 เดือนที่ผ่านมา

เดือนที่ (x)	1	2	3	4	5	6
ความสูง (y) (m.)	1.9	2.3	2.9	3.8	5.1	6.8

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเอกซ์โพแนนเชียล และต้นไม้ชนิดนี้เมื่ออายุผ่านไป 3 ใน 4 ของอายุขัย (อายุขัย = 3 ปี) จะหยุดการเจริญเติบโต
ก. จงทำนายว่าในต้นไม้นี้จะสูงสุดได้กี่เมตร (ทศนิยม 2 ตำแหน่ง)
ตอบ ความสูงของต้นไม้ประมาณ 367.04 เมตร
ข. สมการความสัมพันธ์นี้ คืออะไร (ทศนิยมที่เกี่ยวข้องเป็น 2 ตำแหน่ง)
ตอบ สมการความสัมพันธ์นี้ คือ y = (1.71)(1.22)^x
4. การใช้ยาชนิดหนึ่งในผู้ป่วยโรคความดันโลหิตสูง เมื่อรับประทานยาเข้าไปแล้ว จะมีปริมาณลดลงดังตาราง

เวลา : ชั่วโมงที่ (x)	0	1	1.5	2	3	5
ปริมาณยา (y) (mg.)	1000	850	750	600	325	75

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเอกซ์โพแนนเชียล จงหาว่า
ก. ในเวลาเท่าใด ที่ปริมาณยาเหลือครึ่งหนึ่งของปริมาณเริ่มต้น
ตอบ ใช้เวลา 2 ชั่วโมง 9 นาที (2.15 ชั่วโมง) ที่ปริมาณยาเหลือครึ่งหนึ่งของปริมาณเริ่มต้น
ข. สมการความสัมพันธ์นี้ คืออะไร
ตอบ สมการความสัมพันธ์นี้ คือ x = (5.85)(0.998)^y
5. จากข้อมูลดังนี้

x	4	6	8
y	8	10	9

ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นพาราโบลา จงหาว่าเมื่อ x มีค่าเท่าใดที่ y จะมีค่าเท่ากับ 2a (a คือค่าในสมการระเบียบวิธีการกำลังสอง หรือสมการความสัมพันธ์)
ตอบ x มีค่าเท่ากับ -712 ที่ y จะมีค่าเท่ากับ 2a (หรือเท่ากับ –6)
6. ข้อมูลอนุกรมเวลา ระบุข้อมูลรายได้ของอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งดังนี้
ปี (พ.ศ. : Y)           2510 2520 2530 2540 2545 2550 2555 .....
รายได้ (ล้านบาท : X)   1     2      5      x1    x2     12    18 …..
จากข้อมูลพบว่าในปีพ.ศ. 2520 มีรายได้ 2 ล้านบาท และปีพ.ศ. 2555 มีรายได้ 18 ล้านบาท ถ้าความสัมพันธ์ของข้อมูลชุดนี้เป็นเส้นตรง
ก. จงหาค่าของ x1x2 (ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
ตอบ ประมาณ 121
ข. จงทำนายว่าในปีใดโดยประมาณที่มีรายได้ 6.2 ล้านบาท
ตอบ ประมาณปี พ.ศ. 2529
7. จงหาสมการความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันพาราโบลา จากข้อมูลดังนี้ โดยให้ x เป็นตัวแปรต้น

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	0.2	0.7	1.3	2.4	3.4	3.6	3.2	2.5	1.7	1.1

ตอบ สมการความสัมพันธ์ คือ y = -0.028x² + 0.452x + 0.602
วิธีทำแบบเต็ม Download pdf เฉลย เรื่อง สถิติ ชุดที่ 3